Exercício Resolvido de Leis de Kepler e Gravitação
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Marte está 52% mais afastado do Sol do que a Terra. Calcule em anos terrestres, o período do movimento de revolução de Marte em torno do Sol.


Dados do problema:
  • Distância da Terra ao Sol:    dTerra = R;
  • Período de revolução da Terra:    TTerra = 1 ano.
Esquema do problema:

Marte está 52%=0,52 mais longe do Sol que a Terra, 0,52R, a distância de Marte ao Sol é a distância da Terra ao Sol somada com a distância a mais, dMarte = R+0,52R = 1,52R.

Figura 1

Solução

Da 3.ª Lei de Kepler
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{T_{Terra}^{2}}{R_{Terra}^{3}}=\frac{T_{Marte}^{2}}{R_{Marte}^{3}}} \end{gather} \]
isolando o período de revolução de Marte em torno do Sol que é a incógnita desejada
\[ \begin{gather} T_{Marte}^{2}=\frac{T_{Terra}^{2}}{R_{Terra}^{3}}R_{Marte} \end{gather} \]
substituindo os dados
\[ \begin{gather} T_{Marte}^{2}=\frac{(1)^{2}.(1,52R)^{3}}{R^{3}}\\[5pt] T_{Marte}^{2}=\frac{3,51\cancel{R^{3}}}{\cancel{R^{3}}} \end{gather} \]
simplificando R3 no numerador e no denominador
\[ \begin{gather} T_{Marte}=\sqrt{3,51\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{Marte}=1,87\;\text{anos terrestres}} \end{gather} \]
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