Exercício Resolvido de Leis de Kepler e Gravitação
publicidade   



Determinar a velocidade angular de rotação de um satélite em torno da Terra supondo uma órbita circular, em função da distância ao centro da Terra.


Esquema do problema:

Vamos assumir que são conhecidas as seguintes grandezas, distância da Terra ao satélite, RT, massa da Terra, MT, e a Constante Gravitacional Universal, G.
Figura 1

Solução

A força centrípeta para o satélite em rotação em torno da Terra (Figura 1), é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec{F}}_{cp}=m{\vec{a}}_{cp}} \tag{I} \end{gather} \]
onde m é a massa do satélite, a aceleração centrípeta é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^{2}}{r}} \tag{II} \end{gather} \]
a velocidade tangencial é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[ \begin{gather} a_{cp}=\frac{(\omega r)^{2}}{r}\\ a_{cp}=\frac{\omega^{2}r^{\cancel{2}}}{\cancel{r}}\\ a_{cp}=\omega^{2}r \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (I)
\[ \begin{gather} F_{cp}=m\omega ^{2}r \tag{V} \end{gather} \]
A única força atuando no satélite é força de atração gravitacional da Terra dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{G}=G\frac{Mm}{r^{2}}} \tag{VI} \end{gather} \]
então esta força é a resultante centrípeta, substituindo a expressão (V) na expressão (VI), onde M = MT é a massa da Terra, r = RT é a distância do satélite ao centro da Terra
\[ \begin{gather} G\frac{M_{T}\cancel{m}}{R_{T}^{2}}=\cancel{m}\omega^{2}R_{T} \end{gather} \]
simplificando a massa m do satélite de ambos os lados da igualdade
\[ \begin{gather} G\frac{M_{T}}{R_{T}^{2}}=\omega ^{2}R_{T}\\ \omega^{2}=G\frac{M_{T}}{R_{T}^{3}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\omega =\sqrt{G\frac{M_{T}}{R_{T}^{3}}\;}} \end{gather} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .