Determinar a velocidade angular de rotação de um satélite em torno da Terra supondo uma órbita circular, em
função da distância ao centro da Terra.
Esquema do problema:
Vamos assumir que são conhecidas as seguintes grandezas, distância da Terra ao satélite,
RT, massa da Terra, MT, e a Constante Gravitacional Universal,
G.
Solução
A força centrípeta para o satélite em rotação em torno da Terra (Figura 1), é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{\vec{F}}_{cp}=m{\vec{a}}_{cp}} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde
m é a massa do satélite, a aceleração centrípeta é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a_{cp}=\frac{v^{2}}{r}} \tag{II}
\end{gather}
\]
a velocidade tangencial é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
a_{cp}=\frac{(\omega r)^{2}}{r}\\
a_{cp}=\frac{\omega^{2}r^{\cancel{2}}}{\cancel{r}}\\
a_{cp}=\omega^{2}r \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
F_{cp}=m\omega ^{2}r \tag{V}
\end{gather}
\]
A única força atuando no satélite é força de atração gravitacional da Terra dada pela
Lei da Gravitação Universal de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{G}=G\frac{Mm}{r^{2}}} \tag{VI}
\end{gather}
\]
então esta força é a resultante centrípeta, substituindo a expressão (V) na expressão (VI), onde
M =
MT é a massa da Terra,
r =
RT é a distância do
satélite ao centro da Terra
\[
\begin{gather}
G\frac{M_{T}\cancel{m}}{R_{T}^{2}}=\cancel{m}\omega^{2}R_{T}
\end{gather}
\]
simplificando a massa
m do satélite de ambos os lados da igualdade
\[
\begin{gather}
G\frac{M_{T}}{R_{T}^{2}}=\omega ^{2}R_{T}\\
\omega^{2}=G\frac{M_{T}}{R_{T}^{3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega =\sqrt{G\frac{M_{T}}{R_{T}^{3}}\;}}
\end{gather}
\]