Calcule o valor da aceleração da gravidade em uma estação espacial que orbite a Terra a uma distância de
360 km da superfície (
e.g. a
Estação Espacial Internacional –
International Space Station ISS).
Dados: raio da Terra 6,37.10
3 km, massa da Terra 5,97.10
24 kg e
Constante
Gravitacional Universal 6,67.10
−11 N.m
2/kg
2.
Observação: e.g. é a abreviação da expressão em latim “exempli gratia” que significa
“por exemplo”.
Dados do problema:
- Distância da estação à superfície da Terra: H = 360 km;
- Raio da Terra: R = 6,37.103 km;
- Massa da Terra: M = 5,97.1024 kg;
- Constante Gravitacional Universal: G = 6,67.10−11 N.m2/kg2.
Esquema do problema:
O tamanho da estação espacial e do astronauta podem ser desprezados em relação à distância que se
encontram da superfície da Terra, assim ambos estão sob a mesma força de atração gravitacional da Terra,
\( {\vec{F}}_{G} \).
A distância da estação ao centro da Terra (Figura 1) é a soma do raio terrestre R e da distância
da estação à superfície da Terra H.
Solução
Aplicando a
2.ª Lei de Newton a um astronauta de massa
m em órbita circular em torno da
Terra
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{\vec{F}}_{cp}=m{\vec{a}}_{cp}}
\end{gather}
\]
temos, em módulo, que a única força que atua no astronauta (e na estação espacial) é força de atração
gravitacional da Terra dada pela
Lei da Gravitação Universal de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{G}=G\frac{Mm}{r^{2}}}
\end{gather}
\]
a aceleração a que está submetido um corpo em órbita da Terra, igualando as duas expressões acima, será
\[
\begin{gather}
G\frac{M\cancel{m}}{r^{2}}=\cancel{m}a_{cp}
\end{gather}
\]
simplificando a massa
m de ambos os lados da igualdade e sendo a distância do astronauta ao centro da
Terra dada por
r=
R+
H
\[
\begin{gather}
a_{cp}=G\frac{M}{(R+H)^{2}}
\end{gather}
\]
substituindo os dados do problema
\[
\begin{gather}
a_{cp}=6,67.10^{-11}.\frac{5,97.10^{24}}{\left(6,37.10^{6}+0,36.10^{6}\right)^{2}}\\[5pt]
a_{cp}=\frac{3,98.10^{14}}{\left(6,73.10^{6}\right)^{2}}\\[5pt]
a_{cp}=\frac{3,98.10^{14}}{4,53.10^{13}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{cp}=8,79\;\text{m/s}^{2}}
\end{gather}
\]
Observações:
1 – A variação da aceleração na estação espacial em relação a aceleração na superfície da Terra é
\[
\begin{gather}
\frac{9,81-8,79}{9,81}=\frac{1,02}{9,81}=0,10=\frac{10}{100}=10\text{%}
\end{gather}
\]
A aceleração na estação espacial é apenas 10% menor do que aquela que sentimos na Terra.
2 – Se a aceleração na estação espacial não é zero porque os astronautas flutuam?
A explicação pode ser entendida com base numa situação imaginada por Isaac Newton (1642-1727) em seu
livro Tratado do Sistema do Mundo (A Treatise of the System of the World - 1728). Suponha
um canhão montado em uma montanha muito alta na Terra (Figura 2), se um tiro é disparado
horizontalmente com pequena velocidade a bala cai na Terra atraída pela força da gravidade, se outro
tiro é disparado com mais velocidade a bala pode ir mais longe, mas ainda cai na Terra, quando o canhão
disparar o tiro com uma tal velocidade que a bala dê a volta na Terra entrando em órbita circular ela
estará sempre caindo em direção à Terra sem nunca chegar. Esta é a situação do astronauta e da estação
espacial ambos caem em direção a Terra, esta situação é comparável a uma pessoa em queda livre num
elevador (Figura 3).
Este é o motivo pelo qual em aparelhos que simulam queda livre em parques de diversões as pessoas devem
usar cintos de segurança, quando a pessoa e a cadeira caem em queda livre a pessoa "descola" do assento
caindo para fora do aparelho.
Figura 3