No filme
2001: Uma Odisseia no Espaço (
2001: A Space Odissey de 1968 dirigido por Stanley
Kubrick) a nave Discovery One possui uma seção formada por uma centrífuga que gira de modo a produzir
gravidade artificial semelhante a gravidade da Lua.
Supondo que um astronauta tenha uma altura média de 1,70 m, e que a centrífuga tem um diâmetro de
11,6 m e gira com frequência de 5 rpm, verifique a viabilidade da construção de tal aparelho.
Dados do problema:
- Diâmetro da centrífuga: D = 11,6 m;
- Frequência de rotação da centrífuga: f = 5 rpm;
- Altura do astronauta: h = 1,70 m.
Esquema do problema:
Como a centrífuga tem um diâmetro de 11,6 m seu raio vale
\[
\begin{gather}
R=\frac{D}{2}\\
R=\frac{11,6}{2}\\
R=5,8\;\text{m}
\end{gather}
\]
esta é a distância dos pés do astronauta ao centro da centrífuga.
A cabeça do astronauta está a uma distância
d do centro igual a
\[
\begin{gather}
d=R-h\\
d=5,8-1,7\\
d=4,1\;\text{m}
\end{gather}
\]
Com estes dados podemos calcular a gravidade artificial gerada pela rotação da centrífuga na altura dos
pés,
\( \vec{g}_{p} \),
e da cabeça,
\( \vec{g}_{c} \),
do astronauta (Figura 1).
Solução
Em primeiro lugar devemos converter a frequência dada em rotações por minuto (rpm) para hertz (Hz) usado no
Sistema Internacional (
S.I.)
\[
\begin{gather}
f=5\;\text{rpm}=5\;\frac{\text{rotações}}{1\;\cancel{\text{min}}}.\frac{1\;\cancel{\text{min}}}{60\;\text{s}}=\frac{5}{60}\;\frac{\text{rotações}}{\text{s}}=\frac{1}{12}\;\frac{\text{rotações}}{\text{s}}=\frac{1}{12}\;\text{Hz}
\end{gather}
\]
Forças que atuam no astronauta (Figura 2):
- \( {\vec{F}}_{CP} \): força centrípeta que atua no astronauta devido a rotação da centrífuga;
- \( {\vec{F}}_{CG} \): força centrífuga que atua no astronauta, mantém o astronauta no chão da centrífuga gerando uma gravidade artificial.
Observação: A força centrífuga,
\( {\vec{F}}_{CG} \),
não é reação da força centrípeta,
\( {\vec{F}}_{CP} \),
pela 3.ª Lei de Newton forças de ação e reação estão em corpos diferentes, e neste caso as duas
forças estão aplicadas ao astronauta.
Figura 2
A gravidade artificial gerada pela rotação é dada pela força centrífuga e é igual a força centrípeta,
em módulo, dada por
\[
\begin{gather}
F_{CG}=F_{CP}=m\frac{v^{2}}{r}
\end{gather}
\]
Aplicando a
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec{F}=m\vec{a}}
\end{gather}
\]
a força resultante que gera a gravidade artificial é a força centrífuga, assim escrevemos em módulo
\[
\begin{gather}
m\frac{v^{2}}{r}=ma\\
a=\frac{v^{2}}{r} \tag{I}
\end{gather}
\]
a velocidade tangencial é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
a=\frac{(\omega r)^{2}}{r}\\
a=\frac{\omega^{2}r^{2}}{r}\\
a=\omega ^{2}r \tag{III}
\end{gather}
\]
A velocidade angular é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega =2\pi f} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
a=(2\pi f)^{2}r\\
a=4\pi^{2}f^{2}r \tag{V}
\end{gather}
\]
Usando a frequência dada, adotando π = 3,14 e usando
r =
R = 5,8 m, temos a aceleração
gerada na altura dos pés do astronauta,
a =
gc
\[
\begin{gather}
g_{p}=4.3,14^{2}.\left(\frac{1}{12}\right)^{2}.5,8\\
g_{p}=4.9,86.\frac{1}{144}.5,8\\
g_{p}=1,59\;\text{m/s}^{2}
\end{gather}
\]
Usando
r =
d = 4,1 m, temos a aceleração gerada na altura da cabeça do astronauta,
a =
gc
\[
\begin{gather}
g_{c}=4.3,14^{2.}\left(\frac{1}{12}\right)^{2}.4,1\\
g_{c}=4.9,86.\frac{1}{144}.4,1\\
g_{c}=1,12\;\text{m/s}^{2}
\end{gather}
\]
A diferença de valores entre a aceleração da gravidade na cabeça e nos pés é muito grande, isto tornaria
difícil o andar dos astronautas, a circulação sanguínea também poderia ser comprometida, havendo falta de
sangue na cabeça, que seria atraído para os pés, causando tonturas e desmaios dos astronautas. Portanto
não seria viável construir
uma centrífuga com estas dimensões.