Exercício Resolvido de Leis de Kepler e Gravitação
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No filme 2001: Uma Odisseia no Espaço (2001: A Space Odissey de 1968 dirigido por Stanley Kubrick) a nave Discovery One possui uma seção formada por uma centrífuga que gira de modo a produzir gravidade artificial semelhante a gravidade da Lua.


Supondo que um astronauta tenha uma altura média de 1,70 m, e que a centrífuga tem um diâmetro de 11,6 m e gira com frequência de 5 rpm, verifique a viabilidade da construção de tal aparelho.


Dados do problema:
  • Diâmetro da centrífuga:    D = 11,6 m;
  • Frequência de rotação da centrífuga:    f = 5 rpm;
  • Altura do astronauta:    h = 1,70 m.
Esquema do problema:

Como a centrífuga tem um diâmetro de 11,6 m seu raio vale
\[ \begin{gather} R=\frac{D}{2}\\ R=\frac{11,6}{2}\\ R=5,8\;\text{m} \end{gather} \]
esta é a distância dos pés do astronauta ao centro da centrífuga.
A cabeça do astronauta está a uma distância d do centro igual a
\[ \begin{gather} d=R-h\\ d=5,8-1,7\\ d=4,1\;\text{m} \end{gather} \]
Com estes dados podemos calcular a gravidade artificial gerada pela rotação da centrífuga na altura dos pés, \( \vec{g}_{p} \), e da cabeça, \( \vec{g}_{c} \), do astronauta (Figura 1).
Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter a frequência dada em rotações por minuto (rpm) para hertz (Hz) usado no Sistema Internacional (S.I.)
\[ \begin{gather} f=5\;\text{rpm}=5\;\frac{\text{rotações}}{1\;\cancel{\text{min}}}.\frac{1\;\cancel{\text{min}}}{60\;\text{s}}=\frac{5}{60}\;\frac{\text{rotações}}{\text{s}}=\frac{1}{12}\;\frac{\text{rotações}}{\text{s}}=\frac{1}{12}\;\text{Hz} \end{gather} \]

Forças que atuam no astronauta (Figura 2):
  • \( {\vec{F}}_{CP} \): força centrípeta que atua no astronauta devido a rotação da centrífuga;
  • \( {\vec{F}}_{CG} \): força centrífuga que atua no astronauta, mantém o astronauta no chão da centrífuga gerando uma gravidade artificial.
Observação: A força centrífuga, \( {\vec{F}}_{CG} \), não é reação da força centrípeta, \( {\vec{F}}_{CP} \), pela 3.ª Lei de Newton forças de ação e reação estão em corpos diferentes, e neste caso as duas forças estão aplicadas ao astronauta.

Figura 2

A gravidade artificial gerada pela rotação é dada pela força centrífuga e é igual a força centrípeta, em módulo, dada por
\[ \begin{gather} F_{CG}=F_{CP}=m\frac{v^{2}}{r} \end{gather} \]
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \end{gather} \]
a força resultante que gera a gravidade artificial é a força centrífuga, assim escrevemos em módulo
\[ \begin{gather} m\frac{v^{2}}{r}=ma\\ a=\frac{v^{2}}{r} \tag{I} \end{gather} \]
a velocidade tangencial é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[ \begin{gather} a=\frac{(\omega r)^{2}}{r}\\ a=\frac{\omega^{2}r^{2}}{r}\\ a=\omega ^{2}r \tag{III} \end{gather} \]
A velocidade angular é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\omega =2\pi f} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ \begin{gather} a=(2\pi f)^{2}r\\ a=4\pi^{2}f^{2}r \tag{V} \end{gather} \]
Usando a frequência dada, adotando π = 3,14 e usando r = R = 5,8 m, temos a aceleração gerada na altura dos pés do astronauta, a = gc
\[ \begin{gather} g_{p}=4.3,14^{2}.\left(\frac{1}{12}\right)^{2}.5,8\\ g_{p}=4.9,86.\frac{1}{144}.5,8\\ g_{p}=1,59\;\text{m/s}^{2} \end{gather} \]
Usando r = d = 4,1 m, temos a aceleração gerada na altura da cabeça do astronauta, a = gc
\[ \begin{gather} g_{c}=4.3,14^{2.}\left(\frac{1}{12}\right)^{2}.4,1\\ g_{c}=4.9,86.\frac{1}{144}.4,1\\ g_{c}=1,12\;\text{m/s}^{2} \end{gather} \]
A diferença de valores entre a aceleração da gravidade na cabeça e nos pés é muito grande, isto tornaria difícil o andar dos astronautas, a circulação sanguínea também poderia ser comprometida, havendo falta de sangue na cabeça, que seria atraído para os pés, causando tonturas e desmaios dos astronautas. Portanto não seria viável construir uma centrífuga com estas dimensões.
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