Um planeta de massa
m descreve uma órbita circular em torno de uma estrela
S a uma distância
R, com uma velocidade tal que a duração de cada volta é
T. O movimento se realiza sob a ação
de uma força
F de módulo constante, dirigida para
S. Representa-se por
acp,
EC e
V, respectivamente a aceleração centrípeta, a energia cinética e a velocidade
do planeta.
a) Estabelecer a expressão de
EC em função de
F e
R, ou seja
EC =
f(
F,
R);
b) Estabelecer em função de
R,
T e
m as expressões de
V,
acp e
EC, ou seja
V =
f(
R,
T,
m),
acp =
f(
R,
T,
m) e
EC =
f(
R,
T,
m);
c) Mostrar que
F é dado pela expressão
\( F=A\dfrac{m}{R^{2}} \)
em que
A é uma constante;
d) Aplicar as expressões encontradas calculando
acp,
F e
EC no
caso da Terra em torno do Sol. São dados: velocidade da Terra em sua órbita 30 km/s, raio da órbita terrestre
15.10
7 km e massa da Terra 6.10
21 t.
Dados do problema:
- Massa do planeta: m;
- Distância do planeta à estrela: R;
- Período da órbita do planeta: T;
- Força entre o planeta e a estrela: F;
Dados para a Terra:
- Velocidade da Terra em sua órbita: vT = 30 km/s;
- Raio da órbita terrestre: RT = 15.107 km;
- Massa da Terra: mT = 6.1021 t.
Esquema do problema:
Solução
Em primeiro lugar devemos converter a velocidade da Terra, dada em quilômetros por segundo (km/s) para metros
por segundo (m/s), o raio da órbita da Terra dado em quilômetros (km) para metros (m), e a massa da Terra
dada em toneladas (t) para quilogramas (kg), usadas no
Sistema Internacional (
S.I.).
\[
\begin{gather}
v_{T}=30\;\frac{\cancel{\text{km}}}{\text{s}}.\frac{1000\;\text{m}}{\cancel{\text{km}}}=30000\;\frac{\text{m}}{\text{s}}=3.10^{4}\text{m/s}\\[10pt]
R_{T}=15.10^{7}\;\cancel{\text{km}}.\frac{1000\;\text{m}}{\cancel{\text{km}}}=15.10^{7}.10^{3}\;\text{m}=15.10^{10}\;\text{m}\\[10pt]
m_{T}=6.10^{21}\;\cancel{\text{t}}.\frac{1000\;\text{kg}}{\cancel{\text{t}}}=6.10^{21}.10^{3}\;\text{kg}=6.10^{24}\;\text{t}
\end{gather}
\]
a) A energia cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}}
\end{gather}
\]
fazendo
v =
V
\[
\begin{gather}
E_{C}=\frac{mV^{2}}{2} \tag{I}
\end{gather}
\]
Como o planeta está girando em torno da estrela ele está sujeito a uma aceleração centrípeta dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a_{cp}=\frac{v^{2}}{r}} \tag{II}
\end{gather}
\]
fazendo
v =
V e
r =
R na expressão (II), a velocidade será
\[
\begin{gather}
V^{2}=a_{cp}R \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
E_{C}=\frac{ma_{cp}R}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
A força centrípeta é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{cp}=ma_{cp}}
\end{gather}
\]
fazendo a força centrípeta igual a força entre a estrela e o planeta dado no problema,
Fcp =
F
\[
\begin{gather}
F=ma_{cp} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{C}(F,R)=\frac{FR}{2}}
\end{gather}
\]
b) A velocidade de um corpo em
Movimento Circular Uniforme (
M.C.U.) é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
V=\omega R \tag{VI}
\end{gather}
\]
a velocidade angular
ω é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega =\frac{2\pi}{T}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI), a velocidade será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{V(R,T,m)=2\pi \frac{R}{T}}
\end{gather}
\]
a velocidade será dependente do raio
R e do período
T e independe da massa
m.
Para o cálculo da energia cinética substituímos o valor da velocidade encontrada acima na expressão (I)
\[
\begin{gather}
E_{C}=\frac{m}{2}\left(2\pi\frac{R}{T}\right)^{2}\\
E_{C}=\frac{m}{2}4\pi^{2}\frac{R^{2}}{T^{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{C}(R,T,m)=2\pi^{2}\frac{mR^{2}}{T^{2}}}
\end{gather}
\]
Para o cálculo da aceleração centrípeta primeiro substituímos a expressão (VI) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
a_{cp}=\frac{(\omega R)^{2}}{R}\\
a_{cp}=\frac{\omega^{2}R^{\cancel{2}}}{\cancel{R}}
\end{gather}
\]
simplificando o raio
R e substituindo o valor de
ω pela expressão (VII)
\[
\begin{gather}
a_{cp}=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}R
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{cp}(R,T,m)=\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}}}
\end{gather}
\]
o valor da aceleração centrípeta, assim como a velocidade, é independente da massa
m.
c) Substituindo o resultado obtido acima para a aceleração centrípeta na expressão (V) para a força
\[
\begin{gather}
F=m\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}}
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador do lado direito por
R2
\[
\begin{gather}
F=m\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}}.\frac{R^{2}}{R^{2}}\\[5pt]
F=m\frac{4\pi^{2}R^{3}}{T^{2}R^{2}}\\[5pt]
F=4\pi^{2}\frac{R^{3}}{T^{2}}\frac{m}{R^{2}}
\end{gather}
\]
Nesta expressão o fator 4π
2 é constante, o fator
\( \dfrac{R^{3}}{T^{2}} \)
também é constante, lembrando da
3.ª Lei de Kepler: “
A razão entre o cubo da distância de um
planeta ao Sol e o quadrado do período mantém-se constante para qualquer planeta”. Então estes dois
fatores formam uma nova constante que pode ser definida como
\[
\begin{gather}
A\equiv 4\pi^{2}\frac{R^{3}}{T^{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F=A\frac{m}{R^{2}}}
\end{gather}
\]
d) Para o cálculo da aceleração centrípeta usamos a expressão (II) com os dados fornecidos para a Terra
\[
\begin{gather}
a_{cp}=\frac{V_{T}^{2}}{R_{T}}\\[5pt]
a_{cp}=\frac{\left(3.10^{4}\right)^{2}}{15.10^{10}}\\[5pt]
a_{cp}=\frac{9.10^{8}}{15.10^{10}}\\[5pt]
a_{cp}=\frac{9.10^{8}.10^{-10}}{15}\\[5pt]
a_{cp}=\frac{9.10^{-2}}{15}\\[5pt]
a_{cp}=0,006
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{cp}=6.10^{-3}\;\text{m/s}}
\end{gather}
\]
A força é obtida usando a expressão (V) e a aceleração calculada acima
\[
\begin{gather}
F=m_{T}a_{cp}\\[5pt]
F=6.10^{24}.6.10^{-3}\\[5pt]
F=36.10^{21}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F=3,6.10^{22}\;\text{N}}
\end{gather}
\]
A energia cinética é calculada usando o resultado do item (a) e a força calculada acima
\[
\begin{gather}
E_{C}=\frac{FR}{2}\\[5pt]
E_{C}=\frac{3,6.10^{22}.15.10^{10}}{2}\\[5pt]
E_{C}=\frac{54.10^{32}}{2}\\[5pt]
E_{C}=27.10^{32}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{C}=2,7.10^{33}\;\text{J}}
\end{gather}
\]