Exercício Resolvido de Leis de Kepler e Gravitação
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Um planeta de massa m descreve uma órbita circular em torno de uma estrela S a uma distância R, com uma velocidade tal que a duração de cada volta é T. O movimento se realiza sob a ação de uma força F de módulo constante, dirigida para S. Representa-se por acp, EC e V, respectivamente a aceleração centrípeta, a energia cinética e a velocidade do planeta.
a) Estabelecer a expressão de EC em função de F e R, ou seja EC = f(F, R);
b) Estabelecer em função de R, T e m as expressões de V, acp e EC, ou seja V = f(R, T, m), acp = f(R, T, m) e EC = f(R, T, m);
c) Mostrar que F é dado pela expressão \( F=A\dfrac{m}{R^{2}} \) em que A é uma constante;
d) Aplicar as expressões encontradas calculando acp, F e EC no caso da Terra em torno do Sol. São dados: velocidade da Terra em sua órbita 30 km/s, raio da órbita terrestre 15.107 km e massa da Terra 6.1021 t.


Dados do problema:
  • Massa do planeta:    m;
  • Distância do planeta à estrela:    R;
  • Período da órbita do planeta:    T;
  • Força entre o planeta e a estrela:    F;
Dados para a Terra:
  • Velocidade da Terra em sua órbita:    vT = 30 km/s;
  • Raio da órbita terrestre:    RT = 15.107 km;
  • Massa da Terra:    mT = 6.1021 t.
Esquema do problema:

Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter a velocidade da Terra, dada em quilômetros por segundo (km/s) para metros por segundo (m/s), o raio da órbita da Terra dado em quilômetros (km) para metros (m), e a massa da Terra dada em toneladas (t) para quilogramas (kg), usadas no Sistema Internacional (S.I.).
\[ \begin{gather} v_{T}=30\;\frac{\cancel{\text{km}}}{\text{s}}.\frac{1000\;\text{m}}{\cancel{\text{km}}}=30000\;\frac{\text{m}}{\text{s}}=3.10^{4}\text{m/s}\\[10pt] R_{T}=15.10^{7}\;\cancel{\text{km}}.\frac{1000\;\text{m}}{\cancel{\text{km}}}=15.10^{7}.10^{3}\;\text{m}=15.10^{10}\;\text{m}\\[10pt] m_{T}=6.10^{21}\;\cancel{\text{t}}.\frac{1000\;\text{kg}}{\cancel{\text{t}}}=6.10^{21}.10^{3}\;\text{kg}=6.10^{24}\;\text{t} \end{gather} \]
a) A energia cinética é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}} \end{gather} \]
fazendo v = V
\[ \begin{gather} E_{C}=\frac{mV^{2}}{2} \tag{I} \end{gather} \]
Como o planeta está girando em torno da estrela ele está sujeito a uma aceleração centrípeta dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^{2}}{r}} \tag{II} \end{gather} \]
fazendo v = V e r = R na expressão (II), a velocidade será
\[ \begin{gather} V^{2}=a_{cp}R \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (I)
\[ \begin{gather} E_{C}=\frac{ma_{cp}R}{2} \tag{IV} \end{gather} \]
A força centrípeta é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{cp}=ma_{cp}} \end{gather} \]
fazendo a força centrípeta igual a força entre a estrela e o planeta dado no problema, Fcp = F
\[ \begin{gather} F=ma_{cp} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E_{C}(F,R)=\frac{FR}{2}} \end{gather} \]


b) A velocidade de um corpo em Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} V=\omega R \tag{VI} \end{gather} \]
a velocidade angular ω é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\omega =\frac{2\pi}{T}} \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI), a velocidade será
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V(R,T,m)=2\pi \frac{R}{T}} \end{gather} \]
a velocidade será dependente do raio R e do período T e independe da massa m.
Para o cálculo da energia cinética substituímos o valor da velocidade encontrada acima na expressão (I)
\[ \begin{gather} E_{C}=\frac{m}{2}\left(2\pi\frac{R}{T}\right)^{2}\\ E_{C}=\frac{m}{2}4\pi^{2}\frac{R^{2}}{T^{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E_{C}(R,T,m)=2\pi^{2}\frac{mR^{2}}{T^{2}}} \end{gather} \]
Para o cálculo da aceleração centrípeta primeiro substituímos a expressão (VI) na expressão (II)
\[ \begin{gather} a_{cp}=\frac{(\omega R)^{2}}{R}\\ a_{cp}=\frac{\omega^{2}R^{\cancel{2}}}{\cancel{R}} \end{gather} \]
simplificando o raio R e substituindo o valor de ω pela expressão (VII)
\[ \begin{gather} a_{cp}=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}R \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{cp}(R,T,m)=\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}}} \end{gather} \]
o valor da aceleração centrípeta, assim como a velocidade, é independente da massa m.

c) Substituindo o resultado obtido acima para a aceleração centrípeta na expressão (V) para a força
\[ \begin{gather} F=m\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}} \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador do lado direito por R2
\[ \begin{gather} F=m\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}}.\frac{R^{2}}{R^{2}}\\[5pt] F=m\frac{4\pi^{2}R^{3}}{T^{2}R^{2}}\\[5pt] F=4\pi^{2}\frac{R^{3}}{T^{2}}\frac{m}{R^{2}} \end{gather} \]
Nesta expressão o fator 4π2 é constante, o fator \( \dfrac{R^{3}}{T^{2}} \) também é constante, lembrando da 3.ª Lei de Kepler: “A razão entre o cubo da distância de um planeta ao Sol e o quadrado do período mantém-se constante para qualquer planeta”. Então estes dois fatores formam uma nova constante que pode ser definida como
\[ \begin{gather} A\equiv 4\pi^{2}\frac{R^{3}}{T^{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F=A\frac{m}{R^{2}}} \end{gather} \]

d) Para o cálculo da aceleração centrípeta usamos a expressão (II) com os dados fornecidos para a Terra
\[ \begin{gather} a_{cp}=\frac{V_{T}^{2}}{R_{T}}\\[5pt] a_{cp}=\frac{\left(3.10^{4}\right)^{2}}{15.10^{10}}\\[5pt] a_{cp}=\frac{9.10^{8}}{15.10^{10}}\\[5pt] a_{cp}=\frac{9.10^{8}.10^{-10}}{15}\\[5pt] a_{cp}=\frac{9.10^{-2}}{15}\\[5pt] a_{cp}=0,006 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{cp}=6.10^{-3}\;\text{m/s}} \end{gather} \]
A força é obtida usando a expressão (V) e a aceleração calculada acima
\[ \begin{gather} F=m_{T}a_{cp}\\[5pt] F=6.10^{24}.6.10^{-3}\\[5pt] F=36.10^{21} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F=3,6.10^{22}\;\text{N}} \end{gather} \]
A energia cinética é calculada usando o resultado do item (a) e a força calculada acima
\[ \begin{gather} E_{C}=\frac{FR}{2}\\[5pt] E_{C}=\frac{3,6.10^{22}.15.10^{10}}{2}\\[5pt] E_{C}=\frac{54.10^{32}}{2}\\[5pt] E_{C}=27.10^{32} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E_{C}=2,7.10^{33}\;\text{J}} \end{gather} \]
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