Exercício Resolvido de Fluidos
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Sabendo que P1, P2 e P3 são os pesos aparentes de um mesmo corpo quanto totalmente imerso em três líquidos diferentes de pesos específicos ρ1, ρ2 e ρ3 respectivamente, demonstrar que
\[ ({\large\rho}_{2}-{\large\rho}_{3})P_{1}+({\large\rho}_{3}-{\large\rho}_{1})P_{2}+({\large\rho}_{1}-{\large\rho}_{2})P_{3}=0 \]


Dados do problema:
  • Pesos aparentes do corpo:    P1, P2, P3;
  • Pesos específicos do corpo:    ρ1, ρ2, ρ3.
Solução

O peso específico é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {{\large\rho}=\frac{P}{V}} \]
onde V é o volume do corpo que permanece constante.
Escrevendo esta expressão para as três situações
\[ \begin{gather} {\large\rho}_{1}=\frac{P_{1}}{V}\\ V{\large\rho}_{1}=P_{1} \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} {\large\rho}_{2}=\frac{P_{2}}{V}\\ V{\large\rho}_{2}=P_{2} \tag{II} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} {\large\rho}_{3}=\frac{P_{3}}{V}\\ V{\large\rho}_{3}=P_{3} \tag{III} \end{gather} \]
subtraindo a expressão (II) da expressão (I)
\[ \frac{ \begin{matrix} V{\large\rho}_{1}=P_{1}\\ \qquad\quad\; V{\large\rho}_{2}=P_{2} \qquad \text{(--)} \end{matrix}} {V{\large\rho}_{1}-V{\large\rho}_{2}=P_{1}-P_{2}} \]
colocando o volume V em evidência do lado esquerdo da igualdade
\[ \begin{gather} V(\rho_{1}-\rho_{2})=P_{1}-P_{2} \tag{IV} \end{gather} \]
da expressão (III) isolando o volume (V)
\[ \begin{gather} V=\frac{P_{3}}{\rho_{3}} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}-(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}+\rho_{2}P_{1}-\rho_{2}P_{1}\\[5pt] P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}-(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}+0\\[5pt] (\rho_{1}-\rho_{2})P_{3}-(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}+(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}=0\\[5pt] (\rho_{1}-\rho_{2})P_{3}+(-\rho_{3}+\rho_{2})P_{1}+(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}=0 \end{gather} \]
somado e subtraindo ρ2P1 e ρ1P2 do lado direito da igualdade
\[ P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=\rho_{3}P_{1}-\rho_{3}P_{2}+\rho_{2}P_{1}-\rho_{2}P_{1}+\rho_{1}P_{2}-\rho_{1}P_{2} \]
Observação: Somando e subtraindo esses termos estamos, na verdade, somando zero, o que não altera a expressão inicial.
\[ P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=\rho_{3}P_{1}-\rho_{3}P_{2}+\underbrace{\rho_{2}P_{1}-\rho_{2}P_{1}}_{0}+\underbrace{\rho_{1}P_{2}-\rho_{1}P_{2}}_{0} \]

Coletando o 1.º e o 4.º termos do lado direito da igualdade e colocando P1 em evidência, e coletando o 2.º e o 5.º termos e colocando P2 em evidência
\[ \begin{gather} P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}-(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}+\rho_{2}P_{1}-\rho_{1}P_{2} \tag{VI} \end{gather} \]
Reescrevendo as expressões (I) e (II)
\[ V=\frac{P_{1}}{\rho_{1}} \qquad \text{e} \qquad V=\frac{P_{2}}{\rho_{2}} \]
igualando estas duas expressões
\[ \begin{gather} \frac{P_{1}}{\rho_{1}}=\frac{P_{2}}{\rho_{2}}\\ \rho_{2}P_{1}=\rho_{1}P_{2} \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[ \begin{gather} P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}-(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}+\rho_{2}P_{1}-\rho_{2}P_{1}\\[5pt] P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}-(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}+0\\[5pt] (\rho_{1}-\rho_{2})P_{3}-(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}+(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}=0\\[5pt] (\rho_{1}-\rho_{2})P_{3}+(-\rho_{3}+\rho_{2})P_{1}+(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}=0 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {(\rho_{2}-\rho_{3})P_{1}+(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}+(\rho_{1}-\rho_{2})P_{3}=0} \tag{Q.E.D} \end{gather} \]

Observação: Q.E.D. é a abreviação da expressão em latim “quod erat demosntrandum” que significa “como queríamos demonstrar”.
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