Sabendo que
P1,
P2 e
P3 são os pesos aparentes de um
mesmo corpo quanto totalmente imerso em três líquidos diferentes de pesos específicos
ρ
1, ρ
2 e ρ
3 respectivamente, demonstrar que
\[
({\large\rho}_{2}-{\large\rho}_{3})P_{1}+({\large\rho}_{3}-{\large\rho}_{1})P_{2}+({\large\rho}_{1}-{\large\rho}_{2})P_{3}=0
\]
Dados do problema:
- Pesos aparentes do corpo: P1, P2, P3;
- Pesos específicos do corpo: ρ1, ρ2, ρ3.
Solução
O peso específico é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{{\large\rho}=\frac{P}{V}}
\]
onde
V é o volume do corpo que permanece constante.
Escrevendo esta expressão para as três situações
\[
\begin{gather}
{\large\rho}_{1}=\frac{P_{1}}{V}\\
V{\large\rho}_{1}=P_{1} \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\large\rho}_{2}=\frac{P_{2}}{V}\\
V{\large\rho}_{2}=P_{2} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\large\rho}_{3}=\frac{P_{3}}{V}\\
V{\large\rho}_{3}=P_{3} \tag{III}
\end{gather}
\]
subtraindo a expressão (II) da expressão (I)
\[
\frac{
\begin{matrix}
V{\large\rho}_{1}=P_{1}\\
\qquad\quad\; V{\large\rho}_{2}=P_{2} \qquad \text{(--)}
\end{matrix}}
{V{\large\rho}_{1}-V{\large\rho}_{2}=P_{1}-P_{2}}
\]
colocando o volume
V em evidência do lado esquerdo da igualdade
\[
\begin{gather}
V(\rho_{1}-\rho_{2})=P_{1}-P_{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
da expressão (III) isolando o volume (
V)
\[
\begin{gather}
V=\frac{P_{3}}{\rho_{3}} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}-(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}+\rho_{2}P_{1}-\rho_{2}P_{1}\\[5pt]
P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}-(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}+0\\[5pt]
(\rho_{1}-\rho_{2})P_{3}-(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}+(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}=0\\[5pt]
(\rho_{1}-\rho_{2})P_{3}+(-\rho_{3}+\rho_{2})P_{1}+(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}=0
\end{gather}
\]
somado e subtraindo ρ
2P1 e ρ
1P2 do lado
direito da igualdade
\[
P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=\rho_{3}P_{1}-\rho_{3}P_{2}+\rho_{2}P_{1}-\rho_{2}P_{1}+\rho_{1}P_{2}-\rho_{1}P_{2}
\]
Observação: Somando e subtraindo esses termos estamos, na verdade, somando zero, o que não
altera a expressão inicial.
\[
P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=\rho_{3}P_{1}-\rho_{3}P_{2}+\underbrace{\rho_{2}P_{1}-\rho_{2}P_{1}}_{0}+\underbrace{\rho_{1}P_{2}-\rho_{1}P_{2}}_{0}
\]
Coletando o 1.º e o 4.º termos do lado direito da igualdade e colocando
P1 em evidência, e
coletando o 2.º e o 5.º termos e colocando
P2 em evidência
\[
\begin{gather}
P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}-(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}+\rho_{2}P_{1}-\rho_{1}P_{2} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Reescrevendo as expressões (I) e (II)
\[
V=\frac{P_{1}}{\rho_{1}} \qquad \text{e} \qquad V=\frac{P_{2}}{\rho_{2}}
\]
igualando estas duas expressões
\[
\begin{gather}
\frac{P_{1}}{\rho_{1}}=\frac{P_{2}}{\rho_{2}}\\
\rho_{2}P_{1}=\rho_{1}P_{2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}-(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}+\rho_{2}P_{1}-\rho_{2}P_{1}\\[5pt]
P_{3}(\rho_{1}-\rho_{2})=(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}-(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}+0\\[5pt]
(\rho_{1}-\rho_{2})P_{3}-(\rho_{3}-\rho_{2})P_{1}+(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}=0\\[5pt]
(\rho_{1}-\rho_{2})P_{3}+(-\rho_{3}+\rho_{2})P_{1}+(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}=0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{(\rho_{2}-\rho_{3})P_{1}+(\rho_{3}-\rho_{1})P_{2}+(\rho_{1}-\rho_{2})P_{3}=0} \tag{Q.E.D}
\end{gather}
\]
Observação: Q.E.D. é a abreviação da expressão em latim “quod erat demosntrandum” que
significa “como queríamos demonstrar”.