Exercício Resolvido de Fluidos
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Um sólido tem pesos aparentes P1 e P2 quando imerso em dois líquidos de pesos específicos ρ1 e ρ2 respectivamente. Determine o seu peso aparente num líquido de peso específico \( \dfrac{1}{2}(\rho_{1}+\rho_{2}) \).
Dados do problema:
- Peso aparente do sólido no líquido 1: P1;
- Peso específico do líquido 1: ρ1;
- Peso aparente do sólido no líquido 2: P2;
- Peso específico do líquido 2: ρ2;
- Peso específico do líquido 3: \( \rho_{3}=\frac{1}{2}(\rho_{1}+\rho_{2}) \).
O peso aparente de um corpo é a diferença entre o peso real (P) e o peso do líquido deslocado pelo corpo PL, assim para cada um dos três líquidos podemos escrever as seguintes expressões
\[
\begin{gather}
P_{1}=P-P_{L1} \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_{2}=P-P_{L2} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_{3}=P-P_{L3} \tag{III}
\end{gather}
\]
escrevendo as expressões para os pesos específicos dos três líquidos, sendo V o volume do sólido que é
igual ao volume de líquido deslocado
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\rho =\frac{P}{V}}
\]
\[
\begin{gather}
\rho_{1}=\frac{P_{L1}}{V}\\
P_{L1}=\rho_{1}V \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\rho_{2}=\frac{P_{L2}}{V}\\
P_{L2}=\rho_{2}V \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\rho_{3}=\frac{P_{L3}}{V}\\
P_{L3}=\rho_{3}V \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (IV) e (V) nas expressões (I) e (II), respectivamente, obtemos o seguinte sistema
\[
\left\{
\begin{matrix}
P_{1}=P-\rho_{1}V\\
P_{2}=P-\rho
_{2}V
\end{matrix}
\right.
\]
somando as equações acima
\[
\begin{gather}
\frac{\begin{matrix}
P_{1}=P-\rho_{1}V\\
P_{2}=P-\rho_{2}V
\end{matrix}}
{P_{1}+P_{2}=2P-\rho_{1}V-\rho_{2}V}\\
P_{1}+P_{2}=2P-(\rho_{1}+\rho_{2})V\\
2P=P_{1}+P_{2}+(\rho_{1}+\rho _{2})V\\
P=\frac{P_{1}+P_{2}+(\rho_{1}+\rho_{2})V}{2}\\
P=\frac{P_{1}+P_{2}}{2}+\frac{(\rho_{1}+\rho_{2})V}{2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VI) e (VII) na expressão (III)
\[
P_{3}=\frac{P_{1}+P_{2}}{2}+\frac{1}{2}(\rho_{1}+\rho_{2})V-\rho_{3}V
\]
substituindo ρ3 pelo valor dado no problema
\[
P_{3}=\frac{P_{1}+P_{2}}{2}+\frac{1}{2}(\rho_{1}+\rho_{2})V-\frac{1}{2}(\rho_{1}+\rho_{2})V
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{P_{3}=\frac{P_{1}+P_{2}}{2}}
\]
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