Exercício Resolvido de Fluidos
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Sendo m1 e m2 respectivamente as massas aparentes de um mesmo corpo quando imerso em líquidos de densidades absolutas d1 e d2, calcular sua massa no vácuo.
Dados do problema:
- Massa aparente do corpo mergulhado no líquido 1: m1;
- Densidade do líquido 1: d1;
- Massa aparente do corpo mergulhado no líquido 2: m2;
- Densidade do líquido 2: d2.
Sendo m a massa procurada, temos que a massa aparente de um corpo é a diferença entre a massa real do corpo e a massa de líquido deslocado pelo corpo (mL), assim para cada situação podemos escrever as seguintes equações
\[
\begin{gather}
m_{1}=m-m_{L1} \tag{I}\\
m_{2}=m-m_{L2} \tag{II}
\end{gather}
\]
A massa de líquido deslocado será o produto do volume (V) do corpo pela densidade do líquido onde está
mergulhado, então temos para os líquidos 1 e 2
\[
\begin{gather}
m_{L1}=Vd_{1} \tag{III}\\
m_{L2}=Vd_{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (III) e (IV) nas expressões (I) e (II)
\[
\begin{gather}
m_{1}=m-Vd_{1} \tag{V}\\
m_{2}=m-Vd_{2} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Isolando o valor de V na expressão (V)
\[
\begin{gather}
Vd_{1}=m-m_{1}\\
V=\frac{m-m_{1}}{d_{1}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[
m_{2}=m-\left(\frac{m-m_{1}}{d_{1}}\right)d_{2}
\]
multiplicando toda a equação por d1
\[
\begin{gather}
\qquad\qquad\, m_{2}=m-\left(\frac{m-m_{1}}{d_{1}}\right)d_{2} \qquad (\times\; d_{1})\\
m_{2}d_{1}=md_{1}-\left(\frac{m-m_{1}}{\cancel{d_{1}}}\right)d_{2}\cancel{d_{1}}\\
m_{2}d_{1}=md_{1}-\left(m-m_{1}\right)d_{2}\\
m_{2}d_{1}=md_{1}-md_{2}+m_{1}d_{2}\\
md_{1}-md_{2}=m_{2}d_{1}-m_{1}d_{2}\\
m\left(d_{1}-d_{2}\right)=m_{2}d_{1}-m_{1}d_{2}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{m=\frac{m_{2}d_{1}-m_{1}d_{2}}{d_{1}-d_{2}}}
\]
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