Exercício Resolvido de Estática
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Para o sistema em equilíbrio na figura, determine as tensões nas cordas A e B sabendo que o corpo C tem 100 N.


Dado do problema:
  • Peso do corpo C:     P = 100 N.
Esquema do problema:

As forças que atuam no sistema são a força peso \(\vec{P} \) no bloco C que aponta para baixo e as tensões nas cordas. A corda que sustenta o bloco apenas transmite a força peso do bloco para o ponto onde está presa às outras cordas.
A corda A faz um ângulo de 60° com o teto, traçando uma linha horizontal que passa pelo ponto onde está preso o corpo C, temos que a força de tensão \( {\vec T}_{A} \) também forma um ângulo de 60° com a horizontal, estes ângulos são alternos internos.
A corda B faz um ângulo de 60° com a parede vertical, o ângulo entre a força de tensão \( {\vec T}_{B} \) e a corda que prende o bloco C também é 60°, estes ângulos são alternos internos. O ângulo entre a linha horizontal e a força de tensão \( {\vec T}_{B} \) é de 30° com a horizontal, são ângulos complementares, somam 90°.
Figura 1

Solução

Em primeiro lugar vamos decompor as forças que atuam no sistema em sistema de eixos coordenados xy (Figura 2). A força peso \( \vec{P} \) tem apenas a componente \( \vec{P}_{y} \) na direção y negativo. A força de tensão \( {\vec T}_{A} \) possui a componente \( {\vec T}_{Ax} \) na direção x positivo e a componente \( {\vec T}_{Ay} \) na direção y positivo. A força tensão \( {\vec T}_{B} \) possui a componente \( {\vec T}_{Bx} \) na direção x negativo e a componente \( {\vec T}_{By} \) na direção y negativo.
Como o sistema está em equilíbrio, a resultante das forças que atuam sobre ele é igual à zero
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum \vec{F}=0} \end{gather} \]

Figura 2

Direção x:     \( -\vec{T}_{Bx}+\vec{T}_{Ax}=0 \)
Direção y:     \( -\vec{P}_{y}-\vec{T}_{By}+\vec{T}_{Ay}=0 \)
\[ \begin{gather} -T_{B}\cos 30°+T_{A}\cos60°=0 \\ -P-T_{B}\operatorname{sen}30°+T_{A}\operatorname{sen}60°=0 \\ \end{gather} \]
Lembrando da Trigonometria
\[ \cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos 60°=\frac{1}{2} \]
\[ \operatorname{sen}30°=\frac{1}{2} \]
\[ \operatorname{sen}60°\frac{\sqrt{3}}{2} \]

estas expressões formam um sistema de duas equações a duas incógnitas, TA e TB
\[ \left\{ \begin{array}{l} -\dfrac{\sqrt{3}}{2}T_{B}+\dfrac{1}{2}T_{A}=0 \\ -100-\dfrac{1}{2}T_{B}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}T_{A}=0 \end{array} \right. \]
isolando TA na primeira equação
\[ \begin{gather} \frac{1}{\cancel{2}}T_{A}=\frac{\sqrt{3}}{\cancel{2}}T_{B}\\[5pt] T_{A}=\sqrt{3}\;T_{B} \tag{I} \end{gather} \]
substituindo a expressão (I) na segunda equação do sistema temos TB
\[ \begin{gather} -100-\frac{1}{2}T_{B}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}\;T_{B}=0\\[5pt] \frac{-{1}}{2}T_{B}+\frac{3}{2}T_{B}=100\\[5pt] \frac{2}{2}T_{B}=100 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{B}=100\;\text{N}} \end{gather} \]
substituindo o valor encontrado acima na expressão (I) obtemos TA
\[ \begin{gather} T_{A}=\sqrt{3}.100 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{A}\simeq 173\;\text{N}} \end{gather} \]
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