Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência
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Um corpo de massa M está ligado a dois outros, cada um de massa m, por meio de cordas que
passam por pequenas polias situadas no mesmo nível à distância 2L uma da outra. Inicialmente a
massa M ocupa uma posição equidistante das duas polias e está em repouso. Calcular a altura que
a massa M descerá após ser abandonada até atingir o equilíbrio.
Dados do problema:
- Massa dos blocos suspensos pelas polias: m;
- Massa do bloco suspenso entre as polias: M;
- Distância entre as polias: 2L.
Adota-se um Nível de Referência (N.R.) a partir de onde é medida a Energia Potencial dos blocos, os blocos de massa m estão apoiados no nível de referência, h = 0, e o bloco de massa M está a uma altura X qualquer (Figura 1-A).
Quando o bloco de massa M é abandonado ele desce uma altura H até atingir uma nova posição de repouso e os blocos de massa m sobem uma altura h (Figura 1-B).
Solução
Usando o Princípio da Conservação da Energia Mecânica
\[
\begin{gather}
E_{M}^{i}=E_{M}^{f}
\end{gather}
\]
Nas situações inicial e final o sistema está em repouso, v = 0, não há Energia Cinética,
toda a energia do sistema está na forma de Energia Potencial dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{P}=mgh} \tag{I}
\end{gather}
\]
Aplicando a expressão (I) para as duas situações
\[
\begin{gather}
MgX+mg.0+mg.0=Mg(X-H)+mgh+mgh\\
MX=M(X-H)+2mh\\
MX=MX-MH+2mh\\
MH=MX-MX+2mh\\
MH=2mh \tag{II}
\end{gather}
\]
Quando a massa M desce a corda aumenta para um comprimento d, que é o comprimento L
que havia quando estava na posição horizontal somado ao comprimento h que veio da subida do bloco
de massa m (idem para o lado direito).
\[
\begin{gather}
d=L+h
\end{gather}
\]
então podemos obter o valor de h para a expressão (II) acima
\[
\begin{gather}
h=d-L \tag{III}
\end{gather}
\]
Na Figura 2 temos um triângulo retângulo que podemos usar para calcular o valor d do comprimento da corda quando o sistema atinge a nova posição de repouso, aplicando o Teorema de Pitágoras
\[
\begin{gather}
d^{2}=L^{2}+H^{2}\\
d=\sqrt{L^{2}+H^{2}\;} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
h=\sqrt{L^{2}+H^{2}\;}-L \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
MH=2m\left(\sqrt{L^{2}+H^{2}\;}-L\right)\\
\frac{MH}{2m}=\sqrt{L^{2}+H^{2}\;}-L\\
\frac{MH}{2m}+L=\sqrt{L^{2}+H^{2}\;}
\end{gather}
\]
elevando ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz
\[
\begin{gather}
\left(\frac{MH}{2m}+L\right)^{2}=\left(\sqrt{L^{2}+H^{2}\;}\right)^{2}
\end{gather}
\]
Observação: O termo do lado esquerdo é um Produto Notável da forma
\[
\begin{gather}
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{M^{2}H^{2}}{4m^{2}}+2.\frac{MH}{2m}L+L^{2}=L^{2}+H^{2}\\[8pt]
\frac{M^{2}H^{2}}{4m^{2}}+\frac{MH}{m}L-H^{2}=L^{2}-L^{2}\\[8pt]
\frac{M^{2}H^{2}}{4m^{2}}+\frac{MH}{m}L-H^{2}=0
\end{gather}
\]
colocando H em evidência
\[
\begin{gather}
H\left(\frac{M^{2}H}{4m^{2}}+\frac{ML}{m}-H\right)=0
\end{gather}
\]
daqui temos duas possibilidades ou H = 0 ou
\( \frac{M^{2}H}{4m^{2}}+\frac{ML}{m}-H=0 \),
a primeira possibilidade representa a própria situação inicial do problema, da segunda obtemos
\[
\begin{gather}
\frac{M^{2}H}{4m^{2}}+\frac{ML}{m}-H=0\\
H-\frac{M^{2}H}{4m^{2}}=\frac{ML}{m}
\end{gather}
\]
colocando H em evidência
\[
\begin{gather}
H\left(1-\frac{M^{2}}{4m^{2}}\right)=\frac{ML}{m}\\
H\left(\frac{4m^{2}-M^{2}}{4m^{2}}\right)=\frac{ML}{m}\\
H=\frac{ML}{\cancel{m}}\frac{4m^{\cancel{2}}}{(4m^{2}-M^{2})}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{H=\frac{4MmL}{4m^{2}-M^{2}}}
\end{gather}
\]
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