Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um carro percorre uma pista curva de raio R e inclinação θ. Qual será a velocidade máxima que o carro pode ter para fazer a curva independente do atrito?


Dados do problema:
  • Raio da curva:    R;
  • Inclinação da curva:    θ.
Esquema do problema:

Figura 1 - Curva inclinada no antigo autódromo de AVUS em Berlim, Alemanha.

As forças que atuam no carro são a força peso \(\vec{P} \) verticalmente para baixo, a força normal de reação \( \vec{N} \) perpendicularmente à pista (Figura 1).

Solução

O ângulo de inclinação da pista é θ, a força peso \(\vec{P} \) é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, portanto, o ângulo entre a força peso \(\vec{P} \) e a pista inclinada será (Figura 2-A)
\[ \alpha +\theta +90°=180° \Rightarrow \alpha =180°-90°-\theta \Rightarrow \alpha =90°-\theta \]
Figura 2

O ângulo entre a pista inclinada e plano horizontal é dado igual à θ, o ângulo entre a força centrípeta \( {\vec F}_{cp} \) e a o plano inclinado também é θ, são ângulos alternos internos (Figura 2-B).
O ângulo entre a força normal de reação \( \vec{N} \) e a força centrípeta \( {\vec F}_{cp} \) é α (Figura 2-C), e o ângulo entre a força normal e o eixo vertical é θ, \( \alpha +\theta =90° \) (Figura 2-D). Este ângulo será usado para decompor a força normal em suas componentes (Figura 3).
Desenhando as forças em um sistema de eixos coordenados xy podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton para o movimento circular
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \tag{I} \end{gather} \]
Na direção x a força centrípeta resultante \( {\vec F}_{cp} \) é dada pela componente da força normal na direção x, \( {\vec N}_{x} \) (Figura 3)
\[ \begin{gather} F_{cp}=N_{x} \tag{II} \end{gather} \]
Figura 3

A componente Nx é dada por
\[ \begin{gather} N_{x}=N\operatorname{sen}\theta \tag{III} \end{gather} \]
A aceleração centrípeta é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^{2}}{R}} \tag{IV} \end{gather} \]
Substituindo as expressões (III) e (IV) na expressão (I)
\[ \begin{gather} N\operatorname{sen}\theta =m\frac{v^{2}}{R} \tag{V} \end{gather} \]
Na direção y não há movimento, a força peso \( \vec{P} \) e a componente da força normal de reação na direção y \( {\vec N}_{y} \) se anulam.
\[ \begin{gather} P=N_{y} \tag{VI} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{VII} \end{gather} \]
A componente Ny é dada por
\[ \begin{gather} N_{y}=N\cos \theta \tag{VIII} \end{gather} \]
Substituindo as expressões (VII) e (VIII) na expressão (VI)
\[ \begin{gather} N\cos \theta =mg \tag{IX} \end{gather} \]
As equações (V) e (IX) formam um sistema de duas equações
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} N\operatorname{sen}\theta =m\dfrac{v^{2}}{R}\\ N\cos \theta=mg \end{array} \right. \end{gather} \]
dividindo a primeira equação pela segunda
\[ \begin{gather} \frac{\cancel{N}\operatorname{sen}\theta }{\cancel{N}\cos \theta }=\frac{\cancel{m}\dfrac{v^{2}}{R}}{\cancel{m}g} \end{gather} \]

Lembrando da Trigonometria    \( \dfrac{\operatorname{sen}\theta }{\cos \theta} =\operatorname{tg}\theta \)

\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\theta =\frac{v^{2}}{Rg}\\[5pt] v^{2}=Rg\operatorname{tg}\theta \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v=\sqrt{\;Rg\operatorname{tg}\theta \;}} \end{gather} \]
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