Exercício Resolvido de Dinâmica
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O sistema esquematizado compõe-se de um elevador de massa M e um homem de massa m. O elevador está suspenso por uma corda que passa por uma polia fixa e vem às mãos do operador, a corda e a roldana são supostas ideais. O operador puxa a corda e sobe com aceleração constante a, juntamente com o elevador. São supostos conhecidos M, m, a e g. Determine a força que a plataforma exerce no operador.


Dados do problema:
  • Massa do homem:    m;
  • Massa do elevador:    M;
  • Aceleração do conjunto:    a;
  • Aceleração da gravidade:    g.
Solução

Adotando o sentido da aceleração a como positivo, isolamos os corpos, encontramos as forças que atuam em cada um deles e aplicamos a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m \vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Homem (Figura 1):
  • \( {\vec P}_{H} \): força peso do homem;
  • \( \vec{T} \): tração aplicada pelo homem na corda;
  • \( \vec{N} \): força de reação do elevador sobre o homem (força a determinar).
Neste problema só há movimento na direção vertical, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} T+N-P_{H}=ma \tag{II} \end{gather} \]

Figura 1

Elevador (Figura 2)
  • \( {\vec P}_{E} \): força peso do elevador;
  • \( \vec{T} \): tração devido ao puxão que o homem dá na corda;
  • \( \vec{N} \): força da ação do homem sobre o elevador.
Aplicando a expressão (I) ao elevador
\[ \begin{gather} T-N-P_{E}=Ma \tag{III} \end{gather} \]

Figura 2

As equações (II) e (III) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas, T e N
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} T+N-P_{H}=ma \\ T-N-P_{E}=Ma \end{array} \right. \end{gather} \]
como queremos obter o valor da força de reaçâo N que o elevador faz no homem, vamos subtrair a segunda equação da primeira equação
\[ \begin{gather} \frac{ \begin{aligned} \cancel{T}+N-P_{H}=ma \\ \text{(-)}\qquad \cancel{T}-N-P_{E}=Ma \end{aligned} } {0+2N-P_{H}+P_{E}=ma-Ma}\\ N=\frac{P_{H}-P_{E}+ma-Ma}{2} \tag{IV} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \]
o peso do homem será dado por
\[ \begin{gather} P_{H}=mg \tag{V} \end{gather} \]
o peso do elevador será dado por
\[ \begin{gather} P_{E}=Mg \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo as expressões (V) e (VI) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} N=\frac{mg-Mg+ma-Ma}{2}\\ N=\frac{g(m-M)+a(m-M)}{2} \end{gather} \]
colocando (m−M) em evidência
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {N=\frac{(m-M)(g+a)}{2}} \]
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