Exercício Resolvido de Dinâmica
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Uma caixa de massa m está sobre uma superfície horizontal, o coeficiente de atrito cinético entre
a caixa e superfície é μ. Aplica-se uma força
\( \vec{F} \)
fazendo um ângulo α com a horizontal.
a) Para qual valor do ângulo α a aceleração da caixa é máxima?
b) Para quais valores de α a caixa permanece em repouso?
a) Para qual valor do ângulo α a aceleração da caixa é máxima?
b) Para quais valores de α a caixa permanece em repouso?
Dados do problema:
- Força externa aplicada na caixa: \( \vec{F} \);
- Massa da caixa: m;
- Coeficiente de atrito cinético: μ;
- Ângulo entre a força aplicada e a horizontal: α.
Isolamos a caixa estudamos as forças que atuam nela.
- \( \vec{F} \): força externa aplicada na caixa;
- \( \vec{P} \): força peso;
- \( {\vec F}_{at} \): força de atrito;
- \( \vec{N} \): força normal de reação.
Solução
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Desenhando as forças num sistema de eixos coordenados e decompondo as forças ao longo das direções
x e y (Figura 2)
- Direção x:
\[
\begin{gather}
F_{x}=F\cos \alpha \tag{II}
\end{gather}
\]
a força de atrito é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{at}=\mu N} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II) e (III) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
F_{x} -F_{at}=ma_{x}\\
F\cos \alpha -\mu N=ma_{x}
\end{gather}
\]
Figura 2
onde ax=a é a aceleração na direção x
\[
\begin{gather}
F\cos \alpha -\mu N=ma \tag{IV}
\end{gather}
\]
- Direção y:
\[
\begin{gather}
F_{y}=F\operatorname{sen} \alpha \tag{V}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (V), (VI) e a força normal de reação N na expressão (I)
\[
\begin{gather}
F_{y} +N-P=ma_{y}\\
F\operatorname{sen}\alpha +N-mg=ma_{y}
\end{gather}
\]
como não há movimento na direção y, devemos ter ay=0 e a equação acima se
reduz a
\[
\begin{gather}
F\operatorname{sen}\alpha +N-mg=0 \tag{VII}
\end{gather}
\]
As equações (IV) e (VII) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas, N e
α
\[
\left\{
\begin{array}{l}
F\cos \alpha -\mu N=ma\\
F\operatorname{sen}\alpha +N-mg=0
\end{array}
\right.
\]
da segunda equação obtemos o valor de N
\[
N=mg-F\operatorname{sen}\alpha
\]
substituindo este valor na primeira equação
\[
\begin{gather}
F\cos \alpha -\mu (mg-F\operatorname{sen}\alpha)=ma\\[5pt]
ma=F\cos \alpha -\mu (mg-F\operatorname{sen}\alpha)\\[5pt]
a=\frac{F\cos \alpha -\mu mg+\mu F\operatorname{sen}\alpha}{m}
\end{gather}
\]
colocando a força F em evidência, e cancelando a massa m no numerador e denominador do lado
direito da igualdade
\[
\begin{gather}
a=\frac{-\mu {\cancel{m}}g}{\cancel{m}}+\frac{F\cos \alpha +\mu F\operatorname{sen}\alpha }{m}\\
a=-\mu g+\frac{F}{m}(\cos \alpha +\mu \operatorname{sen}\alpha)
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador dos termos entre parênteses por
\( \frac{\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}{\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}=1 \)
(multiplicar por 1 não altera nada)
Observação: Se considerarmos 1 e μ como lados de um triângulo retângulo a
hipotenusa será dada por
\( h=\sqrt{1+\mu ^{2}\;} \)
(Figura 3), podemos definir o seno e cosseno do ângulo β como sendo
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\beta =\frac{1}{\sqrt{1+\mu ^{2}\;}} \tag{VIII-a} \\[10pt]
\cos \beta =\frac{\mu }{\sqrt{1+\mu ^{2}\;}} \tag{VIII-b}
\end{gather}
\]
Figura 3
\[
a=-\mu g+\frac{F}{m}(\cos \alpha +\mu \operatorname{sen}\alpha)\left(\frac{\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}{\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}\right)
\]
aplicando a propriedade distributiva ao denominador e deixando o numerador em evidência
\[
\begin{gather}
a=-\mu g+\frac{F\sqrt{1+\mu^{2}\;}}{m}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}\cos \alpha+\frac{\mu }{\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}\operatorname{sen}\alpha \right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
Substituindo as definições de seno (VIII-a) e cosseno (VIII-b) na expressão (IX)
\[
a=-\mu g+\frac{F\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}{m}\left(\operatorname{sen}\beta\cos \alpha +\cos \beta \operatorname{sen}\alpha \right)
\]
Da Trigonometria, o seno da soma é dado por
\[
\operatorname{sen}(x+y)=(\operatorname{sen}x\cos y+\operatorname{sen}y\cos x)
\]
aplicando esta identidade ao termo entre parênteses
\[
\begin{gather}
a=-\mu g+\frac{F\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}{m}\operatorname{sen}(\alpha +\beta) \tag{X}
\end{gather}
\]
Esta é a expressão para a aceleração da caixa. Analisando este resultado vemos que o valor máximo ocorre
quando o seno é igual a 1, isto acontece quando
\( \alpha +\beta =\frac{\pi }{2} \)
é o ângulo que produz a máxima aceleração, onde α=αmáx. Pela Figura 4
vemos que marcando os ângulos
αmax e β num gráfico a soma deste ângulos é
\( \frac{\pi }{2} \)
\[
\cos \alpha _{max}=\operatorname{sen}\beta
\]
Figura 4
substituindo o valor do seno de β definido na expressão (VIII-a)
\[
\cos \alpha _{max}=\frac{1}{\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\alpha _{max}=\arccos\frac{1}{\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}}
\]
b) Para que a caixa permaneça em repouso devemos ter a aceleração igual a zero, na expressão (X) temos que o ângulo α0 para o qual a caixa não se move será
\[
\begin{gather}
0=-\mu g+\frac{F\sqrt{1+\mu^{2}\;}}{m}\operatorname{sen}(\alpha _{0}+\beta )\\
\frac{F\sqrt{1+\mu^{2}\;}}{m}\operatorname{sen}(\alpha _{0}+\beta )=\mu g\\
\operatorname{sen}(\alpha _{0}+\beta )=\mu g\frac{m}{F\sqrt{1+\mu^{2}\;}}\\
\alpha _{0}+\beta =\operatorname{arcsen}\left(\mu g\frac{m}{F\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}\right)\\
\alpha _{0}=\operatorname{arcsen}\left(\mu g\frac{m}{F\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}\right)-\beta
\end{gather}
\]
da expressão (VIII-a)
\[
\operatorname{sen}\beta =\frac{1}{\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}\Rightarrow \beta=\operatorname{arcsen}\frac{1}{\sqrt{1+\mu ^{2}\;}}
\]
substituindo acima, o ângulo α0 será dado por
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\alpha_{0}=\operatorname{arcsen}\left(\mu g\frac{m}{F\sqrt{1+\mu^{2}\;}}\right)-\operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\mu^{2}\;}}\right)}
\]
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