Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um carrinho se desloca sobre uma superfície reta e horizontal. No carrinho há um plano inclinado, que forma um ângulo θ com a horizontal, sobre o plano coloca-se um corpo. Determinar a aceleração do carrinho para que o corpo permaneça em repouso sobre o plano inclinado. Despreze o atrito entre o corpo e o plano inclinado e adote g para a aceleração da gravidade.


Dados do problema:
  • Ângulo de inclinação do plano:    θ;
  • Aceleração da gravidade:    g.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência xy com eixo-x paralelo ao plano horizontal e com o mesmo sentido da aceleração do carrinho.
Supõe-se o solo (Terra) sem aceleração, referencial inercial. O carrinho possui aceleração a em relação ao solo, referencial não-inercial. Para que o corpo permaneça em repouso sobre o carrinho ele deve ter, em relação ao solo, a mesma aceleração a do carrinho (Figura 1).
Figura 1

Solução

Isolando o corpo obtemos as forças que atuam nele (Figura 2).
  • \( \vec{P} \): força peso;
  • \( \vec{N} \): força normal de reação da superfície sobre o bloco.
Figura 2

A força normal de reação \( \vec{N} \) do plano inclinado pode ser decomposta em duas componentes, uma componente na direção do eixo-x, \( {\vec N}_{x} \), e a outra na direção do eixo-y, \( {\vec N}_{y} \), do referencial.
O ângulo do plano inclinado é dado igual à θ, na Figura 3-A vemos que o ângulo entre a direção x e o plano inclinado também é θ, são ângulos alternos internos.

Figura 3

A força normal de reação é perpendicular ao plano inclinado, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre a direção x e a força normal é \( \alpha =90°-\theta \) (Figura 3-B). Como as direções x e y são perpendiculares entre si, o ângulo entre a reação normal e a direção y é (Figura 3-C)
\[ 90°-\alpha=90°-(90°-\theta )=90°-90°+\theta=\theta \]
Desenhando as forças em um sistema de eixos coordenados xy (Figura 4).
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Na direção y não há movimento, a força peso \( \vec{P} \) e a componente da força normal de reação na direção y, \( {\vec N}_{y} \) se cancelam
\[ \begin{gather} N_{y}=P \tag{II} \end{gather} \]
a componente da reação normal na direção y é dada por
\[ \begin{gather} N_{y}=N\cos \theta \tag{III} \end{gather} \]
Figura 4

a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo as expressões (III) e (IV) em (II)
\[ \begin{gather} N\cos \theta =mg \tag{V} \end{gather} \]
Na direção x temos a componente da força de reação normal resultante nessa direção, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} N_{x}=ma \tag{VI} \end{gather} \]
a componente da reação normal na direção x é dada por
\[ \begin{gather} N_{x}=N\operatorname{sen}\theta \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[ \begin{gather} N\operatorname{sen}\theta =ma \tag{VIII} \end{gather} \]
Dividindo a expressão (VII) pela expressão (V)
\[ \begin{gather} \frac{\cancel{N}\operatorname{sen}\theta }{\cancel{N}\cos \theta }=\frac{\cancel{m}a}{\cancel{m}g} \end{gather} \]
Lembrando da Trigonometria    \( \operatorname{tg}\theta =\frac{\operatorname{sen}\theta }{\cos \theta} \)
\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\theta =\frac{a}{g} \end{gather} \]
A aceleração será dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=g\;\operatorname{tg}\theta} \end{gather} \]
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