Exercício Resolvido de Dinâmica
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Três corpos A, B, e C estão suspensos por cordas ideais, como representado na figura. O corpo B está suspenso simultaneamente por duas cordas, uma ligada ao corpo A e outra ao corpo C. Determinar:
a) A aceleração e o sentido do movimento, se todas as massas são iguais a m;
b) A aceleração e o sentido do movimento, se as massas A e C são iguais a m e a massa B igual a 3m;
c) Se as massas A e C são iguais a m, qual deve ser o valor da massa B para que o movimento se dê para cima com aceleração igual a 0,5g?


Esquema do problema:

Escolhemos, aleatoriamente, um sentido para a aceleração, positiva para os corpos A e C descendo e para o corpo B subindo. Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada um deles aplicamos a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Figura 1

Solução

Corpo A:
  • \( {\vec P}_{A} \):    força peso do corpo A;
  • \( \vec{T} \):    força de tensão na corda.
Na direção vertical temos a aceleração na direção da força peso do corpo A, esta será positiva, a tensão está na direção oposta e será negativa, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} P_{A}-T=m_{A}a \tag{II} \end{gather} \]
Corpo B:
  • \( {\vec{P}}_{B} \):    força peso do corpo B;
  • \( \vec{T} \):    força de tensão na corda.
Neste corpo a aceleração está na mesma direção das tensões, estas serão positivas, e a força peso do corpo B está na direção oposta e será negativa, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} T+T-P_{B}=m_{B}a\\[5pt] 2T-P_{B}=m_{B}a \tag{III} \end{gather} \]
Observação: Não é necessário analisar o corpo C, pois este, por simetria, tem o mesmo comportamento do corpo A.

As expressões (II) e (III) formam um sistema de duas equações
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{matrix} P_{A}-T=m_{A}a\\ 2T-P_{B}=m_{B}a \end{matrix} \right. \tag{IV} \end{gather} \]
a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
os pesos dos corpos A e B são dados por
\[ \begin{gather} P_{A}=m_{A}g \tag{V-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P_{B}=m_{B}g \tag{V-b} \end{gather} \]
substituindo as expressões (V-a) e (V-b) no sistema (IV)
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{matrix} \;m_{A}g-T=m_{A}a\\ \;2T-m_{B}g=m_{B}a \end{matrix} \right. \tag{VI} \end{gather} \]

a) Substituindo mA=mB=m no sistema (VI)
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{matrix} mg-T=ma\\ 2T-mg=ma \end{matrix} \right. \end{gather} \]
isolando o valor de T na primeira expressão e substituindo na segunda
\[ \begin{gather} T=mg-ma\\[5pt] 2(mg-ma)-mg=ma\\[5pt] 2mg-2ma-mg=ma\\[5pt] mg=ma+2ma\\[5pt] \cancel{m}g=3\cancel{m}a\\[5pt] 3a=g \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=\frac{g}{3}} \end{gather} \]
Sentido: o corpo B sobe e os corpos A e C descem.

b) Substituindo mA=m e mB=3m no sistema (VI)
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} mg-T=ma\\ 2T-3mg=3ma \end{array} \right. \end{gather} \]
isolando o valor de T na primeira expressão e substituindo na segunda
\[ \begin{gather} T=mg-ma\\[5pt] 2(mg-ma)-3mg=3ma\\[5pt] 2mg-2ma-3mg=3ma\\[5pt] -mg=3ma+2ma\\[5pt] -\cancel{m}g=5\cancel{m}a\\[5pt] 5a=-g\\[5pt] a=-{\frac{g}{5}} \end{gather} \]
O sinal negativo na aceleração indica que o movimento se dará no sentido contrário ao escolhido na Figura 1, a aceleração será
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=\frac{g}{5}} \end{gather} \]
Sentido: o corpo B desce e os corpos A e C sobem.

c) Temos mA=m e queremos determinar mB quando a=0,5g, substituindo estes valores no sistema (VI)
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{matrix} mg-T=m0,5g\\ 2T-m_{B}g=m_{B}0,5g \end{matrix} \right.\\[5pt] \left\{ \begin{matrix} mg-T=0,5mg\\ 2T-m_{B}g=0,5m_{B}g \end{matrix} \right. \end{gather} \]
isolando o valor de T na primeira expressão e substituindo na segunda
\[ \begin{gather} T=mg-0,5mg\\[5pt] T=0,5mg\\[5pt] 2.(0,5mg)-m_{B}g=0,5m_{B}g\\[5pt] mg=0,5m_{B}g+m_{B}g\\[5pt] m\cancel{g}=1,5m_{B}\cancel{g}\\[5pt] m=\frac{3}{2}m_{B}\\[5pt] m_{B}=\frac{m}{\dfrac{3}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {m_{B}=\frac{2}{3}m} \end{gather} \]
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