Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um cilindro possui o eixo principal vertical e raio R, girando no interior do cilindro, num plano horizontal, há uma pequena esfera. Sabendo-se que o coeficiente de atrito entre a esfera e a parede do cilindro é μ e a aceleração local da gravidade é g, calcule a menor velocidade tangencial da partícula para que ela faça a curva sem cair.


Dados do problema:
  • Raio do cilindro:    R;
  • Coeficiente de atrito:    μ;
  • Aceleração da gravidade:    g.
Esquema do problema:

Figura 1

As forças que atuam na esfera são a força peso \( \vec{P} \), apontando para baixo, a força de atrito entre a esfera e a parede do cilindro \( {\vec F}_{at} \) que impede que a esfera caia se opondo a força peso, a força normal de reação \( \vec{N} \) da parede do cilindro sobre a esfera.

Solução

Aplicando a 2.ª Lei de Newton para o movimento circular
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \tag{I} \end{gather} \]
Na direção horizontal a força centrípeta resultante Fcp é dada pela força normal de reação N
\[ \begin{gather} F_{cp}=N \tag{II} \end{gather} \]
a aceleração centrípeta é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^{2}}{R}} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo as expressões (II) e (III) na expressão (I)
\[ \begin{gather} N=m\frac{v^{2}}{R} \tag{IV} \end{gather} \]
Na direção vertical não há movimento, a força peso \( \vec{P} \) e a força de atrito \( {\vec F}_{at} \) se anulam
\[ \begin{gather} P=F_{at} \tag{V} \end{gather} \]
a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{VI} \end{gather} \]
a força de atrito é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{at}=\mu N} \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo as expressões (VI) e (VII) na expressão (V)
\[ \begin{gather} mg=\mu N\\[5pt] N=\frac{mg}{\mu } \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} \frac{\cancel{m}g}{\mu }=\cancel{m}\frac{v^{2}}{R}\\[5pt] \frac{v^{2}}{R}=\frac{g}{\mu }\\[5pt] v^{2}=\frac{Rg}{\mu} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{min}=\sqrt{\frac{Rg}{\mu }\;}} \end{gather} \]
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