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Exercício Resolvido de Centro de Massa


Dos extremos de uma plataforma de comprimento L, apoiada sobre roletes sem atrito, um adulto e uma criança estão correndo um em direção ao outro. Determinar de quanto deslizará a plataforma, quando o adulto passar de um extremo ao outro da plataforma. Sabe-se que a velocidade do adulto é o dobro da velocidade da criança, as massas da plataforma, do adulto e da criança são m1, m2 e m3, respectivamente.


Dados do problema:
  • Comprimento da plataforma:    L;
  • Massa da plataforma:    m1;
  • Massa do adulto:    m2;
  • Velocidade do adulto:    v2;
  • Massa da criança:    m3;
  • Velocidade da criança:    v3.
Solução

A posição do centro de massa de um sistema de três partículas é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {x_{cm}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}} \tag{I} \end{gather} \]
Na primeira situação da Figura 1, a seguir, temos um sistema de referência orientado para a direita com origem no ponto da plataforma onde o homem está inicialmente. “Esquecendo” a plataforma, o homem e a criança, e considerando apenas os seus centros de massa, cp para o centro de massa da plataforma, ch para o centro de massa do homem e cc para o centro de massa da criança, o centro de massa do homem está na posição de origem do sistema x2 = 0, o centro de massa da plataforma, de comprimento L, está na metade do seu comprimento \( x_{1}=\frac{L}{2} \) e o centro de massa da criança está na ponta da plataforma oposta ao homem x3 = L. Assim substituindo esses valores na expressão (I), temos para o centro de massa do conjunto plataforma-homem-criança na situação inicial
\[ \begin{gather} x_{i}=\frac{m_{1}\frac{L}{2}+m_{2}.0+m_{3}L}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\\ x_{i}=\frac{m_{1}\frac{L}{2}+m_{3}L}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \end{gather} \]
multiplicando e dividindo o segundo termo do numerador do lado direito da igualdade por 2, temos
\[ \begin{gather} x_{i}=\frac{m_{1}\frac{L}{2}+\frac{2}{2}m_{3}L}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\\ x_{i}=\frac{m_{1}\frac{L}{2}+2m_{3}\frac{L}{2}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \end{gather} \]
colocando \( \dfrac{L}{2} \) em evidência no numerador, obtemos
\[ \begin{gather} x_{i}=\frac{L}{2}\frac{m_{1}+2m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \tag{II} \end{gather} \]
Figura 1

Na segunda parte da Figura 1 temos a situação final, o homem andou para frente o comprimento L da plataforma, como a velocidade da criança é metade da velocidade do homem ela andou até a metade do comprimento da plataforma enquanto isso a plataforma se deslocou de uma certa distância D para trás em relação ao homem. Assim o centro de massa do homem está agora na posição \( x_{2}=L-D \) e o centro de massa da plataforma e da criança coincidem estando em \( x_{1}=x_{3}=\dfrac{L}{2}-D \), novamente substituindo esses valores na expressão (I) para a situação final obtemos
\[ \begin{gather} x_{f}=\frac{m_{1}\left(\dfrac{L}{2}-D\right)+m_{2}(L-D)+m_{3}\left(\dfrac{L}{2}-D\right)}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\\ x_{f}=\frac{m_{1}\dfrac{L}{2}-m_{1}D+m_{2}L-m_{2}D+m_{3}\dfrac{L}{2}-m_{3}D}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \end{gather} \]
multiplicando e dividindo o terceiro termo do numerador do lado direito da igualdade por 2, temos
\[ \begin{gather} x_{f}=\frac{m_{1}\dfrac{L}{2}-m_{1}D+\dfrac{2}{2}m_{2}L-m_{2}D+m_{3}\dfrac{L}{2}-m_{3}D}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\\[5pt] x_{f}=\frac{m_{1}\dfrac{L}{2}-m_{1}D+2m_{2}\dfrac{L}{2}-m_{2}D+m_{3}\dfrac{L}{2}-m_{3}D}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \end{gather} \]
colocando −D e \( \dfrac{L}{2} \) em evidência no numerador do lado direito da igualdade, temos
\[ \begin{gather} x_{f}=\frac{\dfrac{L}{2}(m_{1}+2m_{2}+m_{3})-D(m_{1}+m_{2}+m_{3})}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \tag{III} \end{gather} \]
Pela conservação do centro de massa este continua não muda de posição, igualando as expressões (II) e (III) temos
\[ \begin{gather} x_{i}=x_{f}\\ \frac{L}{2}\frac{m_{1}+2m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}=\frac{\dfrac{L}{2}(m_{1}+2m_{2}+m_{3})-D(m_{1}+m_{2}+m_{3})}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \end{gather} \]
simplificando o termo m1+m2+m3 no denominador de ambos os lados da igualdade ficamos com
\[ \begin{gather} \frac{L}{2}(m_{1}+2m_{3})=\frac{L}{2}(m_{1}+2m_{2}+m_{3})-D(m_{1}+m_{2}+m_{3})\\ D(m_{1}+m_{2}+m_{3})=\frac{L}{2}(m_{1}+2m_{2}+m_{3})-\frac{L}{2}(m_{1}+2m_{3}) \end{gather} \]
colocando \( \dfrac{L}{2} \) em evidência do lado direito da igualdade
\[ \begin{gather} D(m_{1}+m_{2}+m_{3})=\frac{L}{2}(m_{1}+2m_{2}+m_{3}-m_{1}-2m_{3})\\ D(m_{1}+m_{3}+m_{2})=\frac{L}{2}(2m_{2}-m_{3}) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {D=\frac{2m_{2}-m_{3}}{m_{1}+m_{3}+m_{2}}\frac{L}{2}} \]
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