Um arco semicircular de raio R tem o centro de massa a uma distância
\( \frac{2R}{\pi} \)
do centro. Determine a posição do centro de massa, de um fio homogêneo e de seção transversal constante
com a forma mostrada na figura, em relação ao sistema cartesiano dado.
Dados do problema:
- Comprimento do segmento reto do fio: L = 8 cm;
- Raio do segmento semicircular do fio: R = 4 cm.
Solução
Para o segmento do fio dobrado em semicírculo o problema nos diz que o centro de massa está a uma
distância de
\( \frac{2R}{\pi} \)
do centro, a coordenada
x do semicírculo será (Figura 1)
\[
\begin{gather}
x_{s}=\frac{2R}{\pi}\\[5pt]
x_{s}=\frac{-{2.4}}{\pi }\\[5pt]
x_{s}=\frac{-{8}}{\pi}
\end{gather}
\]
onde o sinal de negativo indica que o ponto está à esquerda da origem.
Pela simetria do semicírculo a coordenada
y será igual a zero (
ys = 0, como o fio
é homogêneo e de seção constante, existe a mesma massa acima e abaixo do eixo
x). O ponto onde está
localizado o centro de massa do semicírculo é
\[
\begin{gather}
(x_{s},y_{s})=\left(-\frac{8}{\pi},\;0\right)
\end{gather}
\]
A densidade linear de massa é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda =\frac{m}{\ell}}
\end{gather}
\]
Observação: Da
Geometria, comprimento da circunferência
\[
\begin{gather}
C=2\pi R
\end{gather}
\]
comprimento da semicircunferência
\[
\begin{gather}
\ell=\frac{C}{2}=\frac{\cancel{2}\pi R}{\cancel{2}}=\pi R
\end{gather}
\]
A massa do segmento semicircular será
\[
\begin{gather}
m_{s}=\lambda \ell\\[5pt]
m_{s}=\lambda \pi R\\[5pt]
m_{s}=4\pi \lambda
\end{gather}
\]
Para o segmento reto do fio, que também é homogêneo e de seção constante, temos que a coordenada
x está na metade do fio, como seu comprimento é de 8 cm (Figura 2)
\[
\begin{gather}
x_{f}=\frac{L}{2}\\[5pt]
x_{f}=\frac{8}{2}\\[5pt]
x_{f}=4\;\text{cm}
\end{gather}
\]
Como o segmento semicircular tem raio de 4 cm ele se une ao segmento reto no ponto onde a coordenada
y tem esse valor
\[
\begin{gather}
y_{f}=4\;\text{cm}
\end{gather}
\]
Desse modo a coordenada do centro de massa do segmento reto é
\[
\begin{gather}
(x_{f},y_{f})=(4,\;4)
\end{gather}
\]
Como o material de que é feito o segmento reto é o mesmo do semicírculo sua densidade linear é calculada
usando a mesma expressão, a massa do segmento reto será
\[
\begin{gather}
m_{f}=\lambda L\\[5pt]
m_{f}=8\lambda
\end{gather}
\]
O sistema se comporta como se toda a massa do segmento semicircular do fio estivesse concentrada no ponto
\( (x_{s},y_{s})=\left(-{\frac{8}{\pi }},\;0\right) \)
e toda a massa do segmento reto estivesse no ponto
\( (x_{f},y_{f})=(4,\;4) \),
as coordenadas do centro de massa do fio inteiro está em um ponto
\( (x_{cm},y_{cm}) \)
localizado na reta que liga os dois pontos anteriores (Figura 3).
A coordenada do centro de massa será dada pelas expressões
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{x_{cm}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{y_{cm}=\frac{m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}}{m_{1}+m_{2}}}
\end{gather}
\]
Substituindo os dados obtidos acima para
xcm
\[
\begin{gather}
x_{cm}=\frac{m_{s}x_{s}+m_{f}x_{f}}{m_{s}+m_{f}}\\[5pt]
x_{cm}=\frac{4\cancel{\pi}\lambda .\left(-{\frac{8}{\cancel{\pi}}}\right)+8\lambda .4}{4\pi \lambda+8\lambda }\\[5pt]
x_{cm}=\frac{\cancel{4\lambda}}{\cancel{4\lambda}}\frac{(-8+8)}{(\pi +2)}\\[5pt]
x_{cm}=\frac{0}{\pi+2}\\[5pt]
x_{cm}=0
\end{gather}
\]
Para
ycm
\[
\begin{gather}
y_{cm}=\frac{m_{s}y_{s}+m_{f}y_{f}}{m_{s}+m_{f}}\\[5pt]
y_{cm}=\frac{4\pi\lambda .0+8\lambda .4}{4\pi \lambda +8\lambda}\\[5pt]
y_{cm}=\frac{0+32\lambda }{4\pi \lambda +8\lambda}\\[5pt]
y_{cm}=\frac{32\lambda }{4\pi \lambda +8\lambda}\\[5pt]
y_{cm}=\frac{\cancelto{8}{32\lambda} }{\cancel{4\lambda} (\pi+2)}\\[5pt]
y_{cm}=\frac{8}{\pi +2}
\end{gather}
\]
adotando π = 3,14
\[
\begin{gather}
y_{cm}=\frac{8}{3,14+2}\\[5pt]
y_{cm}=\frac{8}{5,14}\\[5pt]
y_{cm}=1,56\;\text{cm}
\end{gather}
\]
A coordenada do centro de massa será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{(x_{cm},y_{cm})=(0;\;1,56)}
\end{gather}
\]