Exercício Resolvido de Centro de Massa

Um homem de massa m está sentado na popa de um barco em repouso, num lago. A massa do barco é M = 3m e seu comprimento é L. O homem levanta-se e anda em direção à proa. Desprezando a resistência da água, determine a distância D que o bote percorre durante o percurso do homem da popa a proa.

Dados do problema:

Massa do homem: m;
Massa do barco: M = 3m;
Comprimento do barco: L.

Solução

A posição do centro de massa de um sistema de dois corpos é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {x_{cm}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}} \tag{I} \end{gather} \]

Na primeira situação da Figura 1, a seguir, temos um sistema de referência orientado para a direita com origem na parte de trás do barco onde está sentado o homem. “Esquecendo” o barco e o homem, e considerando apenas os seus centros de massa, h para o centro de massa do homem, e B para o centro de massa do barco, o centro de massa do homem está na posição de origem do sistema x_h=0 e o centro de massa do barco, de comprimento L, está na metade do seu comprimento \( x_{B}=\frac{L}{2} \). Assim substituindo esses valores e as massas dadas no problema na expressão (I), temos para o centro de massa do conjunto homem-barco na situação inicial

\[ \begin{gather} x_{i}=\frac{mx_{h}+Mx_{B}}{m+M}\\ x_{i}=\frac{m.0+3m\dfrac{L}{2}}{m+3m}\\ x_{i}=\frac{3\cancel{m}\dfrac{L}{2}}{4\cancel{m}} \end{gather} \]

simplificando a massa (m) no numerador e no denominador, obtemos

\[ \begin{gather} x_{i}=\frac{3L}{8} \tag{II} \end{gather} \]

Figura 1

Na segunda parte da Figura 1 temos a situação final, o homem andou para frente o comprimento L do barco, enquanto isso o barco andou uma certa distância D para trás. Assim o centro de massa do homem está agora na posição \( x_{h}=L-D \) e o centro de massa do barco está em \( x_{B}=\dfrac{L}{2}-D \), novamente substituindo esses valores na equação (I) para a situação final obtemos

\[ \begin{gather} x_{f}=\frac{mx_{h}+Mx_{B}}{m+M}\\[5pt] x_{f}=\frac{m(L-D)+3m\left(\dfrac{L}{2}-D\right)}{m+3m}\\[5pt] x_{f}=\frac{mL-mD+3m\dfrac{L}{2}-3mD}{4m}\\[5pt] x_{f}=\frac{\dfrac{2mL-2mD+3mL-6mD}{2}}{4m}\\[5pt] x_{f}=\frac{5\cancel{m}L-8\cancel{m}D}{8\cancel{m}} \end{gather} \]

simplificando a massa (m) no numerador e no denominador, obtemos

\[ \begin{gather} x_{f}=\frac{5L-8D}{8} \tag{III} \end{gather} \]

O problema nos diz que o barco está em repouso na situação inicial então pela conservação do centro de massa, este continua no mesmo lugar na situação final, igualando as expressões (II) e (III) temos

\[ \begin{gather} x_{i}=x_{f}\\ \frac{3L}{\cancel{8}}=\frac{5L-8D}{\cancel{8}} \end{gather} \]

simplificando o fator 8 de ambos os lados da igualdade

\[ \begin{gather} 3L=5L-8D\\ 8D=5L-3L\\ 8D=2L\\D=\frac{2L}{8} \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {D=\frac{L}{4}} \]