Exercício Resolvido de Centro de Massa
publicidade   



Duas partículas A e B têm massas respectivamente iguais a 4 kg e 6 kg. Ambas movem-se com velocidades constantes vA = 5 m/s e vB = 3 m/s tais que suas direções formam um ângulo de 60°. Determine:
a) A velocidade do centro de massa;
b) A quantidade de movimento do sistema.


Dados do problema:
  • Massa da partícula A:    mA = 4 kg;
  • Massa da partícula B:    mB = 6 kg;
  • Velocidade da partícula A:    vA = 5 m/s;
  • Velocidade da partícula B:    vB = 3 m/s.
Solução

a) A velocidade do centro de massa será dada pela seguinte equação na forma vetorial
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{v}=\frac{m_{A}{\vec{v}}_{A}+m_{B}{\vec{v}}_{B}}{m_{A}+m_{B}}} \end{gather} \]
na forma escalar está equação pode ser decomposta nas direções x e y
\[ \begin{gather} v_{x}=\frac{m_{A}v_{Ax}+m_{B}v_{Bx}}{m_{A}+m_{B}} \tag{I-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_{y}=\frac{m_{A}v_{Ay}+m_{B}v_{By}}{m_{A}+m_{B}} \tag{I-b} \end{gather} \]
Desenhamos os vetores velocidades \( {\vec{v}}_{A} \) e \( {\vec{v}}_{B} \) em um sistema de eixos cartesianos, e obtemos suas componentes, o vetor velocidade \( {\vec{v}}_{B} \) coincide com o eixo-x, então o ângulo entre eles será 0° (Figura 1)
Figura 1
  • Direção horizontal:
\[ \begin{gather} v_{Ax}=v_{A}\cos 60° \end{gather} \]
da Trigonometria    \( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)
\[ \begin{gather} v_{Ax}=5.\frac{1}{2}\\[5pt] v_{Ax}=2,5\;\text{m/s} \tag{II} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_{Bx}=v_{B}\cos 0° \end{gather} \]
da Trigonometria    \( \cos 0°=1 \)
\[ \begin{gather} v_{Bx}=3.1\\[5pt] v_{Bx}=3\;\text{m/s} \tag{III} \end{gather} \]
  • Direção vertical:
\[ \begin{gather} v_{Ay}=v_{A}\operatorname{sen}60° \end{gather} \]
da Trigonometria    \( \operatorname{sen}60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)
\[ \begin{gather} v_{Ay}=5.\frac{\sqrt{3\;}}{2}\\[5pt] v_{Ay}=4,3\;\text{m/s} \tag{IV} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_{By}=v_{B}\operatorname{sen}0° \end{gather} \]
da Trigonometria    \( \operatorname{sen}0°=0 \)
\[ \begin{gather} v_{By}=3.0\\[5pt] v_{By}=0 \tag{V} \end{gather} \]
Substituindo os valores das massas e as velocidades (II) e (III) na direção x na expressão (I-a)
\[ \begin{gather} v_{x}=\frac{4.2,5+6.3}{4+6}\\[5pt] v_{x}=\frac{10+18}{10}\\[5pt] v_{x}=2,8\;\text{m/s} \tag{VI} \end{gather} \]
Substituindo os valores das massas e as velocidades (IV) e (V) na direção y na expressão (I-b)
\[ \begin{gather} v_{y}=\frac{4.4,3+6.0}{4+6}\\[5pt] v_{y}=\frac{17,2+0}{10}\\[5pt] v_{y}=1,7\;\text{m/s} \tag{VII} \end{gather} \]
Os vetores \( {\vec{v}}_{x} \) e \( {\vec{v}}_{y} \) estão representados na Figura 2-A e sua soma vetorial nos dará o vetor velocidade do centro de massa do sistema. O módulo deste vetor pode ser encontrado aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da Figura 2-B, onde os catetos representam as velocidades nas direções x e y, e a hipotenusa a velocidade do centro de massa.
Figura 2
\[ \begin{gather} v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2} \end{gather} \]
substituindo os resultados (VI) e (VII) para as velocidades
\[ \begin{gather} v^{2}=(2,8)^{2}+(1,7)^{2}\\[5pt] v^{2}=7,84+2,89\\[5pt] v^{2}=10,73\\[5pt] v=\sqrt{10,73\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v=3,3\;\text{m/s}} \end{gather} \]

b) A quantidade de movimento do sistema será
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \end{gather} \]
onde m é a massa total do sistema.
\[ \begin{gather} Q=(m_{A}+m_{B})v\\[5pt] Q=(4+6).3,3 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {Q=33\;\text{kg.m/s}} \end{gather} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .