Exercício Resolvido de Choques
publicidade   



Um prego de massa 5 g é pregado em uma parede utilizando-se um martelo de massa 495 g. A velocidade do martelo imediatamente antes de atingir o prego é 4 m/s e o choque é perfeitamente inelástico. Determinar:
a) A velocidade do sistema prego-martelo imediatamente após o choque;
b) A energia dissipada no choque;
c) Admitindo-se que o prego penetra na parede 0,5 cm a cada golpe, calcular a intensidade da força, suposta constante, oposta pela parede à penetração.


Dados do problema:
  • Massa do prego:    m = 5 g;
  • Massa do martelo:    M = 495 g;
  • Velocidade do martelo:    vM = 4 m/s.
Esquema do problema:

Figura 1

Podemos substituir o martelo e o prego por duas esferas com as mesmas massas do martelo e do prego, o sistema martelo-prego será equivalente a um choque perfeitamente inelástico entre estas esferas (Figura 1).

Solução

Em primeiro lugar devemos converter as massas do prego e do martelo, dadas em gramas (g), para quilogramas (kg) e o deslocamento do prego, dado em centímetros (cm), para metros (m) usados no Sistema Internacional (S.I.).
\[ \begin{gather} m=5\;\cancel{\text{g}}.\frac{1\;\text{kg}}{1 000\;\cancel{\text{g}}}=0,005\;\text{kg}\\[10pt] M=495\;\cancel{\text{g}}.\frac{1\;\text{kg}}{1 000\;\cancel{\text{g}}}=0,495\;\text{kg}\\[10pt] \Delta S=0.5\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=0,005\;\text{m} \end{gather} \]
a) A quantidade de movimento é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec Q=m\vec v} \end{gather} \]
Para encontrarmos a velocidade do sistema após o choque aplicamos o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento (Figura 1), igualando a quantidade de movimento inicial e final
\[ \begin{gather} Q_{i}=Q_{f}\\[5pt] Mv_{\small M}+mv_{p}=(M+m)V\\[5pt] Mv_{\small M}+m.0=(M+m)V\\[5pt] Mv_{\small M}=(M+m)V\\[5pt] Mv_{\small M}=(M+m)V\\[5pt] V=\frac{M}{(M+m)}v_{\small M}\\[5pt] V=\frac{0,495}{(0,495+0,005)}.4\\[5pt] V=\frac{1,98}{(0,5)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V=3,96\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

b) A energia inicial do sistema não se conserva, durante o choque há a dissipação de parte da energia, depois do choque devemos somar à energia mecânica do sistema a energia dissipada. Adotamos um Nível de Referência (N.R.) na linha do movimento (Figura 2). Não há diferença de altura durante o choque, então, não há energia potencial envolvida, apenas a energia cinética e a energia dissipada contribuem para a energia do sistema.

Figura 2

Antes do choque o martelo possui energia cinética, \( _{i}E_{c\small M} \), e a energia cinética do prego, \( _{i}E_{cp} \), é nula, no momento do choque parte da energia mecânica é dissipada, \( E_{\small D} \), e depois do choque o sistema martelo-prego possui energia cinética, \( _{f}E_{c} \).
A energia cinética é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{c}=\frac{m v^{2}}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} E_{\small M i}=E_{\small M f}+E_{\small D}\\[5pt] _{i}E_{c \small M}+_{i}E_{cp}=_{f}E_{c}+E_{\small D}\\[5pt] \frac{Mv_{\small M}^{2}}{2}+\frac{mv_{p}^{2}}{2}=\frac{(M+m)V^{2}}{2}+E_{\small D}\\[5pt] \frac{Mv_{\small M}^{2}}{2}+\frac{m.0^{2}}{2}=\frac{(M+m)V^{2}}{2}+E_{\small D}\\[5pt] \frac{Mv_{\small M}^{2}}{2}=\frac{(M+m)V^{2}}{2}+E_{\small D}\\[5pt] E_{\small D}=\frac{Mv_{\small M}^{2}}{2}-\frac{(M+m)V^{2}}{2}\\[5pt] E_{\small D}=\frac{0,495.4^{2}}{2}-\frac{(0,495+0,005).3,96^{2}}{2}\\[5pt] E_{\small D}=\frac{0,495.16}{2}-\frac{0,5.15,68}{2}\\[5pt] E_{\small D}=\frac{7,92}{2}-\frac{7,84}{2}\\[5pt] E_{\small D}=3,96-3,92 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E_{\small D}=0,04\;\mathrm{J}} \end{gather} \]

c) A força que a parede faz contra o sistema martelo-prego é encontrada aplicando-se a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Pela 3.ª Lei de Newton - Lei da Ação e Reação - a força que a parede faz no sistema martelo-prego é igual à força que o sistema faz na parede. O sistema tem uma velocidade inicial V0, e desacelera até parar quando o prego entra na parede, sendo necessária nova martelada (Figura 3). Então devemos encontrar a aceleração que o sistema sofre quando o prego entra na parede, para isso aplicamos a Equação de Torricelli
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta S} \end{gather} \]
Figura 3
\[ \begin{gather} v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta S\\[5pt] a=\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2\Delta S} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a equação (II) na equação (I) para a massa total do sistema (M+m)
\[ \begin{gather} F=(M+m)\left(\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2\Delta S}\right) \end{gather} \]
substituindo os dados e usando a velocidade inicial encontrada no item (a), v0 = V, quando o martelo acerta o prego, e v = 0, quando o prego para
\[ \begin{gather} F=(0,495+0,005).\left(\frac{0^{2}-3,96^{2}}{2.0,005}\right)\\[5pt] F=-0,5.\frac{15,68}{0,01} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F=-784\;\mathrm{N}} \end{gather} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .