Exercício Resolvido de Resistores
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Temos 12 resistores iguais de valor R colocados nas arestas de um cubo como indicado na figura. Calcular o resistor equivalente entre os pontos A e G que formam uma das diagonais principais do cubo.



Solução

O ponto A é um nó do circuito, neste ponto a corrente se divide igualmente pelos resistores colocados entre os pontos A e B, A e D, A e E, já que todos os resistores têm o mesmo valor R. A queda de tensão entre cada um desses pontos é a mesma, portanto os pontos B, D e E representam um mesmo ponto do circuito   \( B\equiv D\equiv E \),   ou seja, os três resistores "saem" do ponto em comum A e "chegam" no ponto em comum   \( B\equiv D\equiv E \),   portanto esses três resistores estão em paralelo (Figura 1).
Figura 1

Os três resistores colocados entre os pontos C e G, F e G, H e G também são percorridos pela mesma corrente que se encontra no ponto G, os pontos C, F e H representam um mesmo ponto do circuito   \( C\equiv F\equiv H \).   Os resistores "saem" do ponto comum   \( C\equiv F\equiv H \)   e "chegam" no ponto comum G. estes também estão em paralelo (Figura 2).
Figura 2

Os demais resistores estão todos colocados entre os pontos comuns   \( B\equiv D\equiv E \)   e   \( C\equiv F\equiv H \),   estão todos em paralelo (Figura 3).
Figura 3

O circuito em cubo é equivalente a um circuito plano formando por três resistores em paralelo, em série com seis resistores em paralelo e em série com mais três resistores em paralelo (Figura 4)

Figura 4

Vamos chamar de R1 o resistor equivalente entre os pontos A e   \( B\equiv D\equiv E \),   e de R3 os resistor equivalente entre os pontos   \( C\equiv F\equiv H \)   e G, como estas partes do circuito são iguais temos que R1 = R3. O resistor equivalente para uma associação e n resistores iguais ligados em paralelo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {R_{eq}=\frac{R}{n}} \]
para n = 3
\[ R_{1}=R_{3}=\frac{R}{3} \]
Observação: Também poderíamos determinar o resistor equivalente aplicando a expressão geral para associação de resistores em paralelo
\[ \begin{gather} \frac{1}{R_{eq}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac{1}{R_{i}}}\\ \frac{1}{R_{1}}=\frac{1}{R_{3}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\\ \frac{1}{R_{1}}=\frac{1}{R_{3}}=\frac{3}{R}\\ R_{1}=R_{3}=\frac{R}{3} \end{gather} \]

Entre os pontos   \( B\equiv D\equiv E \)   e   \( C\equiv F\equiv H \)   temos seis resistores iguais em paralelo, vamos chamar o resistor equivalente entre estes pontos de R2, aplicando novamente a expressão para associação em paralelo de resistores de igual valor com n = 6
\[ R_{2}=\frac{R}{6} \]
Observação: Ou aplicando a expressão geral para associação de resistores em paralelo
\[ \begin{gather} \frac{1}{R_{eq}}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{R_{i}}}\\ \frac{1}{R_{2}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\\ \frac{1}{R_{2}}=\frac{6}{R}\\ R_{2}=\frac{R}{6} \end{gather} \]

Assim o circuito se reduz ao seguinte

Figura 5

O resistor equivalente do circuito Req será a soma dos resistores em série
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {R_{eq}=\sum _{i=1}^{n}{R_{i}}} \]
\[ \begin{gather} R_{eq}=R_{1}+R_{2}+R_{3}\\ R_{eq}=\frac{R}{3}+\frac{R}{6}+\frac{R}{3} \end{gather} \]
multiplicando e dividindo o primeiro e o tereceiro do lado direito da igualdade por 2
\[ \begin{gather} R_{eq}=\frac{R}{3}.\frac{2}{2}+\frac{R}{6}+\frac{R}{3}.\frac{2}{2}\\ R_{eq}=\frac{2R+R+2R}{6} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {R_{eq}=\frac{5R}{6}} \]
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