Exercício Resolvido de Correntes Fictícias de Maxwell
publicidade   



No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos.



Dados do problema:

Resistores:
  • R1 = 2 Ω;
  • R2 = 3 Ω;
  • R3 = 2 Ω;
  • R4 = 2 Ω;
  • R5 = 3 Ω;
  • R6 = 2 Ω;
  • R7 = 3 Ω;
  • R8 = 2 Ω;
f.e.m. das pilhas:
  • E1 = 5 V;
  • E2 = 5 V;
  • E3 = 4 V;
Solução

Em primeiro lugar a cada malha do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. Nas malhas ABGHA, BCFGB e CDEFC temos, respectivamente, as correntes i1, i2 e i3 no sentido horário (Figura 1)

Figura 1

Aplicando a Lei das Malhas à malha i1 a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo as malhas i2 e i3 (Figura 2)

Figura 2
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_{n} V_{n}=0} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} R_{2}i_{1}+R_{3}(i_{1}-i_{2})+R_{1}i_{1}-E_{1}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores do problema
\[ \begin{gather} 3 i_{1}+2(i_{1}-i_{2})+2 i_{1}-5=0\\[5pt] 3 i_{1}+2 i_{1}-2 i_{2}+2 i_{1}=5 \\[5pt] 7 i_{1}-2 i_{2}=5 \tag{I} \end{gather} \]
Aplicando a Lei das Malhas à malha i2 a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo as malhas i1 e i3 (Figura 2)

Figura 3
\[ \begin{gather} R_{4}i_{2}-E_{2}+R_{6}(i_{2}-i_{3})+R_{5}i_{2}+R_{3}(i_{2}-i_{1})=0 \end{gather} \]
substituindo os valores
\[ \begin{gather} 2 i_{2}-5+2(i_{2}-i_{3})+3 i_{2}+2(i_{2}-i_{1})=0\\[5pt] 2 i_{2}+2 i_{2}-2 i_{3}+3 i_{2}+2 i_{2}-2 i_{1}=5\\[5pt] -2 i_{1}+9 i_{2}-2 i_{3}=5 \tag{II} \end{gather} \]
Aplicando a Lei das Malhas à malha i3 a partir do ponto C no sentindo escolhido, esquecendo as malhas i1 e i2 (Figura 2)

Figura 4
\[ \begin{gather} R_{8}i_{3}-E_{3}+R_{7}i_{3}+R_{6}(i_{3}-i_{2})+E_{2}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores
\[ \begin{gather} 2 i_{3}-4+3 i_{3}+2(i_{3}-i_{2})+5=0\\[5pt] 2 i_{3}+3 i_{3}+2 i_{3}-2 i_{2}+1=0\\[5pt] -2 i_{2}+7 i_{3}=-1 \tag{III} \end{gather} \]
Com as equações (I), (II) e (III) temos um sistema de três equações a três incógnitas (i1, i2 e i3).
\[ \left\{ \begin{array}{l} \;\:\,7 i_{1}-2 i_{2}=5\\ -2 i_{1}+9 i_{2}-2 i_{3}=5\\ -2 i_{2}+7 i_{3}=-1 \end{array} \right. \tag{IV} \]
isolando o valor da corrente i1 na primeira equação e a corrente i3 na terceira equação
\[ \begin{gather} 7 i_{1}-2 i_{2}=5\\[5pt] 7 i_{1}=5+2 i_{2}\\[5pt] i_{1}=\frac{5+2 i_{2}}{7} \tag{V-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} -2 i_{2}+7 i_{3}=-1\\[5pt] 7 i_{3}=-1-2 i_{2}\\[5pt] i_{3}=\frac{-1+2 i_{2}}{7} \tag{V-b} \end{gather} \]
substituindo as expressões (V-a) e (V-b) na segunda equação do sistema (IV)
\[ \begin{gather} -2.\left(\frac{5+2 i_{2}}{7}\right)+9 i_{2}-2.\left(\frac{-1+2 i_{2}}{7}\right)=5\\[5pt] \frac{-10-4 i_{2}}{7}+9 i_{2}+\frac{2-4 i_{2}}{7}=5 \end{gather} \]
multiplicando por 7 o numerador e o denominador do segundo termo do lado esquerdo da igualdade, e o termo do lado direito
\[ \begin{gather} \frac{-10-4 i_{2}}{7}+\frac{7}{7}.9 i_{2}+\frac{2-4 i_{2}}{7}=5.\frac{7}{7}\\[5pt] \frac{-10-4 i_{2}}{7}+\frac{63}{7}i_{2}+\frac{2-4 i_{2}}{7}=\frac{35}{7}\\[5pt] \frac{-10-4 i_{2}+63 i_{2}+2-4 i_{2}}{\cancel{7}}=\frac{35}{\cancel{7}} \end{gather} \]
simplificando o fator 7 de ambos os lados da igualdade
\[ \begin{gather} -10-4 i_{2}+63 i_{2}+2-4 i_{2}=35\\[5pt] -8+55 i_{2}=35\\[5pt] 55 i_{2}=35+8\\[5pt] i_{2}=\frac{43}{55}\\[5pt] i_{2}=0,78\ \text{A} \end{gather} \]
Substituindo este valor nas expressões dadas em (V-a) e (V-b) obtemos os valores das correntes i1 e i3

Observação: ao invés de substituirmos a corrente no valor decimal vamos substituir o valor dado pela fração para diminuir erros de arredondamento.

para a expressão (V-a) temos a corrente i1
\[ \begin{gather} i_{1}=\frac{5+2.\dfrac{43}{55}}{7}\\[5pt] i_{1}=\left(5+2.\frac{43}{55}\right).\frac{1}{7} \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo entre parênteses por 55
\[ \begin{gather} i_{1}=\left(5.\frac{55}{55}+2.\frac{43}{55}\right).\frac{1}{7}\\[5pt] i_{1}=\left(\frac{275}{55}+\frac{86}{55}\right).\frac{1}{7}\\[5pt] i_{1}=\frac{361}{55}.\frac{1}{7}\\[5pt] i_{1}=\frac{361}{385}\\[5pt] i_{1}=0,94\ \text{A} \end{gather} \]
para a expressão (V-b) temos a corrente i3
\[ \begin{gather} i_{3}=\frac{-1+2.\dfrac{43}{55}}{7}\\[5pt] i_{3}=\left(-1+2.\frac{43}{55}\right).\frac{1}{7} \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo entre parênteses por 55
\[ \begin{gather} i_{3}=\left(-1.\frac{55}{55}+2.\frac{43}{55}\right).\frac{1}{7}\\[5pt] i_{3}=\left(\frac{-{55}}{55}+\frac{86}{55}\right).\frac{1}{7}\\[5pt] i_{3}=\frac{31}{55}.\frac{1}{7}\\[5pt] i_{3}=\frac{31}{385}\\[5pt] i_{3}=0,08\ \text{A} \end{gather} \]
No ramo BG vai circular uma corrente i4 dada por
\[ \begin{gather} i_{4}=i_{1}-i_{2}\\[5pt] i_{4}=\frac{361}{385}-\frac{43}{55} \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direiro da expressão por 7
\[ \begin{gather} i_{4}=\frac{361}{385}-\frac{43}{55}.\frac{7}{7}\\[5pt] i_{4}=\frac{361}{385}-\frac{301}{385}\\[5pt] i_{4}=\frac{361-301}{385}\\[5pt] i_{4}=\frac{60}{385} \end{gather} \]
dividindo o numerador e o denominador por 5
\[ \begin{gather} i_{4}=\frac{60:5}{385:5}\\[5pt] i_{4}=\frac{12}{77}\\[5pt] i_{4}=0,16\ \text{A} \end{gather} \]
O sentido da corrente i4 será o mesmo da corrente i1 (de maior valor).
No ramo CF vai circular uma corrente i5 dada por
\[ \begin{gather} i_{5}=i_{2}-i_{3}\\[5pt] i_{5}=\frac{43}{55}-\frac{31}{385} \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo do lado direito da expressão por 7
\[ \begin{gather} i_{5}=\frac{43}{55}.\frac{7}{7}-\frac{31}{385}\\[5pt] i_{5}=\frac{301}{385}-\frac{31}{385}\\[5pt] i_{5}=\frac{301-31}{385}\\[5pt] i_{5}=\frac{270}{385} \end{gather} \]
dividindo o numerador e o denominador por 5
\[ \begin{gather} i_{5}=\frac{270:5}{385:5}\\[5pt] i_{5}=\frac{54}{77}\\[5pt] i_{5}=0,70\ \text{A} \end{gather} \]
O sentido da corrente i5 será o mesmo da corrente i2 (de maior valor).

Os valores das correntes são i1=0,99 A, i2=0,78 A, i3=0,08 A, i4=0,16 A, e i5=0,70 A, e seus sentidos estão mostrados na Figura 5.

Figura 5
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .