Exercício Resolvido de Leis de Kirchhoff

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Duas pilhas cujas f.e.m. e resistências internas são respectivamente E1=1,5 V, E2=9 V e r1=1 Ω, r2=2,2 Ω são ligadas por fios de resistência desprezível a um resistor R=4,7 kΩ, segundo o esquema indicado na figura. Determinar as intensidades das correntes nos diferentes trechos do circuito.

Pilha E1=1,5 V e reistência interna r1=1 ohm ligada, em paralelo, com resistor R=4700 ohms, ligado em paralelo com bateria E2=9 V e resistência intera r2=2,2 ohms.


Dados do problema
Resistores:
  • r1 = 1 Ω;
  • r2 = 2,2 Ω;
Resistência externa:
  • R = 4,7 kΩ = 4700 &Ohm;;
f.e.m. das pilhas:
  • E1 = 1,5 V;
  • E2 = 9 V;
Solução

Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. No ramo EFAB temos a corrente i1 no sentido horário, no ramo BE a corrente i3 indo de B para E e no ramo EDCB a corrente i
2 no sentido anti-horário. Em segundo lugar para cada malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, para se percorrer a malha. Malha α (ABEFA) sentido horário e malha β (BCDEB) também sentido horário. Vemos todos estes elementos na figura 1

Malha alfa (ABEFA) percorrida no sentido horário, corrente i1 no ramo EFAB, corrente i2 no ramo BE; malha beta (BCDEB) percorrida no sentido horário, corrente i3 no ramo EDCB.
figura 1
As correntes i1 e i2 chegam no nó B e a corrente i3 sai dele
\[ i_{3}=i_{1}+i_{2} \tag{I} \]
Para a malha α a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo a malha β (figura 2), temos
\[ R i_{3}+r_{1} i_{1}-E_{1}=0 \tag{II} \]
Malha alfa (ABEFA) percorrida no sentido horário, corrente i1 no ramo EFAB, corrente i3 no ramo BE.
figura 2
substituindo os valores do problema, temos
\[ \begin{align} 4700i_{3}+1i_{1}-1,5=0\\ 4700i_{3}+i_{1}=1,5 \tag{III} \end{align} \]
Para a malha β a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo a malha α, (figura 3), temos

Malha beta (BCDEB) percorrida no sentido horário, corrente i2 no ramo EDCB, corrente i3 no ramo BE.
figura 3
\[ E_{2}-r_{2}i_{2}-Ri_{3}=0 \tag{IV} \]
substituindo os valores
\[ \begin{align} 9-2,2i_{2}-4700i_{3}=0\\ 2,2i_{2}+4700i_{3}=9 \tag{V} \end{align} \]
As equações (I), (III) e (V) formam um sistema de três equações a três incógnitas (i1, i2 e i3)
\[ \left|\begin{array} \;i_{3}=i_{1}+i_{2}\\ \;4700i_{3}+i_{1}=1,5\\ \;2,2i_{2}+4700i_{3}=9 \end{array}\right. \]
isolando o valor de i1 na segunda equação, temos
\[ i_{1}=1,5-4700i_{3} \tag{VI} \]
isolando o valor de i2 na terceira equação, temos
\[ i_{2}=\frac{9-4700i_{3}}{2,2} \tag{VII} \]
substituindo as expressões (VI) e (VII) na primeira equação obtemos
\[ i_{3}=1,5-4700i_{3}+\frac{9-4700i_{3}}{2,2} \]
multiplicando ambos os lados da igualdade por 2,2, temos
\[ 2,2i_{3}=2,2.\left(\;1,5-4700i_{3}+\frac{9-4700i_{3}}{2,2}\;\right)\\ 2,2i_{3}=2,2.1,5-2,2.4700i_{3}+{\cancel{2,2}}.\frac{9-4700i_{3}}{\cancel{2,2}}\\ 2,2i_{3}=3,3-10340i_{3}+9-4700i_{3}\\ 2,2i_{3}=12,3-15040i_{3}\\ 2,2i_{3}+15040i_{3}=12,3\\ 15042,2i_{3}=12,3\\ i_{3}=\frac{12,3}{15042,2}\\ i_{3}=8,1770.10^{-4}=0,81770.10^{-3}\simeq 0,82\;\text{mA} \]
substituindo o valor encontrado acima nas expressões (VI) e (VII) encontramos os valores de i1 e i2 respectivamente


\[ i_{1}=1,5-4700.0,00081770\\ i_{1}=1,5-3,8432\\ i_{1}=-2,3432\;\text{A} \]
\[ i_{2}=\frac{9-4700.0,00081770}{2,2}\\ i_{2}=\frac{9-3,8432}{2,2}\\ i_{2}=\frac{5,1568}{2,2}\\ i_{2}=2,3440\;\text{A} \]
Como o valor da corrente i1 é negativa, isto indica que seu verdadeiro sentido é contrário ao escolhido na figura 1. Os valores das correntes são i1=2,3432 A, i2=2,3440 A, e i3=0,82 mA, e seus sentidos estão mostrados na figura 4.

Corrente i1 percorre o ramo no sentido BAFE, corrente i3 percorre o ramo BE e corrente i2 percorre o ramo EDCB.
figura 4


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