Exercício Resolvido de Força Elétrica
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Quatro cargas positivas iguais a q, estão localizadas nos vértices de um tetraedro regular de
lados iguais a d. Encontrar a intensidade da força elétrica, devido as três cargas que formam a
base do tetraedro, na carga localizada no ponto P acima da base.
Dados do problema:
- Valor das cargas elétricas: +q;
- Distância entre as cargas: d.
Como todas as cargas têm o mesmo sinal, as cargas da base do tetraedro vão repelir a carga localizada no
ponto P, e como os valores das cargas são iguais e a distância entre elas é a mesma a intensidade
da força elétrica de repulsão
\( {\vec{F}}_{\small E} \)
será a mesma (Figura 1).
Solução
A Lei de Coulomb é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{\small E}=k_{0}\frac{|q||Q|}{r^{2}}}
\end{gather}
\]
Olhando para um plano vertical que passa por uma das cargas da base e pela carga no ponto P
(Figura 2), aplicando a Lei de Coulomb, a força elétrica de repulsão será
\[
\begin{gather}
F_{\small E}=k_{0}\frac{|q||q|}{d^{2}}\\[5pt]
F_{\small E}=k_{0}\frac{q^{2}}{d^{2}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Essa força elétrica pode ser decomposta nas direções paralelas ao plano da base do tetraedro
\( {\vec{F}}_{\small{EP}} \)
e normal ao plano
\( {\vec{F}}_{\small{EN}} \).
Desenhamos a força elétrica em um sistema de eixos Cartesianos e obtemos as suas componentes
(Figura 3)
\[
\begin{gather}
F_{\small{EP}}=F_{\small E}\operatorname{sen}\theta \tag{II-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{\small{EN}}=F_{\small E}\cos \theta \tag{II-b}
\end{gather}
\]
onde o ângulo θ é medido entre o vetor força elétrica
\( {\vec{F}}_{\small E} \)
e a componente normal
\( {\vec{F}}_{\small{EN}} \)
ao plano, é o mesmo ângulo medido entre a aresta d do tetraedro e a altura h
(são ângulos opostos pelo vértice).
- Forças paralelas ao plano, \( {\vec{F}}_{\small{EP}} \):
\[
\begin{gather}
F_{\small{EP}}+F_{\small{EP}}+F_{\small{EP}}=0
\end{gather}
\]
- Forças normais ao plano, \( {\vec{F}}_{\small{EN}} \):
\[
\begin{gather}
\cos \theta =\frac{h}{d} \tag{III}
\end{gather}
\]
Como o tetraedro é regular as faces laterais são triângulos equiláteros (possuem os três lados iguais)
a altura a de uma das faces é encontrada usando o Teorema de Pitágoras (Figura 5)
\[
\begin{gather}
d^{2}=a^{2}+\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\\[5pt]
d^{2}=a^{2}+\frac{d^{2}}{4}\\[5pt]
a^{2}=d^{2}-\frac{d^{2}}{4}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo por 4 o primeiro termo do lado direito da equação
\[
\begin{gather}
a^{2}=\frac{4}{4}.d^{2}-\frac{d^{2}}{4}\\[5pt]
a^{2}=\frac{4d^{2}-d^{2}}{4}\\[5pt]
a^{2}=\frac{3d^{2}}{4}\\[5pt]
a=\sqrt{\frac{3d^{2}}{4}}\\[5pt]
a=\frac{d\sqrt{3}}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
A altura h do tetraedro divide a base em dois segmentos de tamanhos m e n
(Figura 6), de onde podemos escrever as seguintes relações, a soma de m e n é a altura
a do triângulo da base
\[
\begin{gather}
a=m+n
\end{gather}
\]
substituindo o valor de a encontrado em (IV)
\[
\begin{gather}
\frac{d\sqrt{3}}{2}=m+n \tag{V}
\end{gather}
\]
aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da direita com catetos m e h, e hipotenusa a
\[
\begin{gather}
a^{2}=m^{2}+h^{2}
\end{gather}
\]
substituindo o valor de a encontrado em (IV)
\[
\begin{gather}
\left(\frac{d\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=m^{2}+h^{2}\\[5pt]
\frac{3d^{2}}{4}=m^{2}+h^{2} \tag{VI}
\end{gather}
\]
aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da esquerda com catetos n e
h, e hipotenusa d
\[
\begin{gather}
d^{2}=n^{2}+h^{2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Subtraindo a equação (VI) da equação (VII)
\[
\begin{gather}
\frac{
\begin{matrix}
\quad d^{2}=n^{2}+h^{2}\\
(-)\quad \dfrac{3d^{2}}{4}=m^{2}+h^{2}\quad\;\;
\end{matrix}}
{d^{2}-\dfrac{3d^{2}}{4}=n^{2}+h^{2}-(m^{2}+h^{2})}\\[5pt]
d^{2}-\frac{3d^{2}}{4}=n^{2}+h^{2}-m^{2}-h^{2}\\[5pt]
d^{2}-\frac{3d^{2}}{4}=n^{2}-m^{2}
\end{gather}
\]
Lembrando dos Produtos Notáveis
\( x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y) \)
\[ x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y) \]
do lado esquerdo, multiplicando e dividindo por 4 o primeiro termo da equação
\[
\begin{gather}
\frac{4}{4}.d^{2}-\frac{3d^{2}}{4}=(n+m)(n-m)\\[5pt]
\frac{4d^{2}-3d^{2}}{4}=(n+m)(n-m)\\[5pt]
\frac{d^{2}}{4}=(n+m)(n-m)
\end{gather}
\]
substituindo o termo n+m pelo valor dado em (V)
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}}{4}=\frac{d\sqrt{3\;}}{2}(n-m)\\[5pt]
n-m=\frac{d^{2}}{\cancelto{2}{4}}.\frac{\cancel{2}}{d\sqrt{3\;}}\\[5pt]
n-m=\frac{d}{2\sqrt{3\;}}
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador por
\( \sqrt{3\;} \)
do lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
n-m=\frac{d}{2\sqrt{3\;}}.\frac{\sqrt{3\;}}{\sqrt{3\;}}\\[5pt]
n-m=\frac{d\sqrt{3\;}}{2.3}\\[5pt]
n-m=\frac{d\sqrt{3\;}}{6} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Somando as equações (V) e (VIII)
\[
\begin{gather}
\frac{
\begin{matrix}
\quad n+m=\dfrac{d\sqrt{3\;}}{2}\\
(\text{+})\quad n-m=\dfrac{d\sqrt{3\;}}{6}\quad\;
\end{matrix}}
{2n=\dfrac{d\sqrt{3\;}}{2}+\dfrac{d\sqrt{3\;}}{6}}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo por 3 o primeiro termo do lado direito da equação
\[
\begin{gather}
2n=\frac{3}{3}.\frac{d\sqrt{3\;}}{2}+\frac{d\sqrt{3\;}}{6}\\[5pt]
2n=\frac{3d\sqrt{3\;}+d\sqrt{3\;}}{6}\\[5pt]
n=\frac{4d\sqrt{3\;}}{2.6}\\[5pt]
n=\frac{d\sqrt{3\;}}{3} \tag{IX}
\end{gather}
\]
Usando a equação (VII) podemos determinar h em função de d
\[
\begin{gather}
d^{2}=\left(\frac{d\sqrt{3\;}}{3}\right)^{2}+h^{2}\\[5pt]
d^{2}=\frac{3d^{2}}{9}+h^{2}\\[5pt]
h^{2}=d^{2}-\frac{3d^{2}}{9}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo por 9 o primeiro termo do lado direito da equação
\[
\begin{gather}
h^{2}=\frac{9}{9}.d^{2}-\frac{3d^{2}}{9}\\[5pt]
h^{2}=\frac{9d^{2}-3d^{2}}{9}\\[5pt]
h^{2}=\frac{6d^{2}}{9}\\[5pt]
h=\sqrt{\frac{6d^{2}}{9}\;}\\[5pt]
h=\frac{d\sqrt{6}}{3} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (X) para h na expressão (III) para o cosseno de θ
\[
\begin{gather}
\cos \theta =\frac{\dfrac{d\sqrt{6}}{3}}{d}\\[5pt]
\cos \theta=\frac{\cancel{d}\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{\cancel{d}}\\[5pt]
\cos \theta=\frac{\sqrt{6}}{3}
\end{gather}
\]
Usando as equações (I), (II) e o cosseno, calculado acima, a força elétrica normal ao plano para a interação
entre uma das cargas da base e a carga no ponto P será
\[
\begin{gather}
F_{\small{EN}}=k_{0}\frac{q^{2}}{d^{2}}.\frac{\sqrt{6}}{3}
\end{gather}
\]
Por simetria a carga no ponto P interage igualmente com as outras duas cargas da base, então a
força elétrica resultante sobre a carga em P será (Figura 7)
\[
\begin{gather}
F_{\small{ER}}=3F_{\small{EN}}\\[5pt]
F_{\small{ER}}=\cancel{3}.k_{0}\frac{q^{2}}{d^{2}}.\frac{\sqrt{6}}{\cancel{3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F_{\small{ER}}=k_{0}\frac{q^{2}\sqrt{6}}{d^{2}}}
\end{gather}
\]
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Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .