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Exercício Resolvido de Corrente Elétrica


Um fio com área de seção transversal 0,50.10−2 cm2, é percorrido por uma corrente contínua de intensidade igual a 4,0 A. Dada a carga elementar 1,6.10−19 C, determinar:
a) O número de elétrons passando por uma seção transversal por segundo;
b) A velocidade média dos elétrons, sabendo que existem 1,8.1020 elétrons/cm3.


Dados do problema:
  • Área transversal do fio:    A = 0,50.10−2cm2;
  • Corrente elétrica:    i = 4,0 A;
  • Carga elementar:    e = 1,6.10−19 C.
Solução

a) Na Figura 1 os elétrons se deslocam atravessando uma seção transversal, destacada em cinza. A corrente elétrica é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {i=\frac{\Delta q}{\Delta t}} \tag{I} \end{gather} \]
Figura 1
A quantidade de carga que atravessa uma determinada seção é dada por
\[ \begin{gather} \Delta q=n{\mathrm e} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) em (I), temos
\[ \begin{gather} i=\frac{n{\mathrm e}}{\Delta t}\\ n=\frac{i\Delta t}{\mathrm e} \end{gather} \]
substituindo os dados do problema para Δt = 1 s
\[ \begin{gather} n=\frac{4.1}{1,6.10^{-19}}\\ n=\frac{4.10^{19}}{1,6} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {n=2,5.10^{19}\;\text{elétrons}} \]

b) A velocidade média é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v_{m}=\frac{\Delta S}{\Delta t}} \tag{III} \end{gather} \]
então um elétron que passe pela seção transversal do fio num determinado instante vai percorrer uma distância ΔS num intervalo de tempo Δt, o elétron passa então por uma outra seção transversal. Estas duas seções transversais determinam um cilindro no fio de volume V dado por (Figura 2)
Figura 2
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {V=Bh} \]
onde B é a área da base do cilindro (área da seção transversal do fio, B = A) e h é o deslocamento do elétron (ΔS = h), então podemos reescrever
\[ \begin{gather} \Delta S=\frac{V}{A} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) em (III), temos
\[ \begin{gather} v_{m}=\frac{V}{A\Delta t} \tag{V} \end{gather} \]
A densidade volumétrica de cargas (d) é dada por
\[ d=\frac{n}{V} \]
onde n é o número de elétrons contidos no volume V (cilindro determinado pelas duas seções transversais no fio), assim
\[ \begin{gather} V=\frac{n}{d} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VI) em (V), obtemos
\[ v_{m}=\frac{n}{dA\Delta t} \]
Usando os dados do problema, o valor de n calculado no item anterior e sendo a velocidade calculada por unidade de tempo temos Δt = 1 s
\[ \begin{gather} v_{m}=\frac{2,5.10^{19}}{1,8.10^{20}.0,50.10^{-2}.1}\\ v_{m}=\frac{2,5.10^{19}}{9.10^{17}}\\ v_{m}=\frac{2,5.10^{19}.10^{-17}}{9}\\ v_{m}=0,28.10^{2} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{m}=28\;\text{cm/s}} \]
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