Uma locomotiva elétrica de 100 toneladas é impulsionada por quatro motores elétricos alimentados com
uma tensão de 1000 volts e se move a uma velocidade de 72 km/h. Adotando-se o coeficiente de atrito
entre as rodas da locomotiva e os trilhos como sendo igual a 0,5 e a aceleração da gravidade
g = 10 m/s
2, determinar:
a) A corrente elétrica que circula em cada motor;
b) Se em cada motor circular uma corrente de 4000 amperes quantos vagões, de 15 toneladas cada, a
locomotiva será capaz de puxar?
Dados do problema:
- Massa da locomotiva: M = 100 t;
- Massa dos vagões: MV = 15 t;
- Velocidade da locomotiva: v = 72 km/h;
- Coeficiente de atrito: μ = 0,5;
- Tensão da rede: U = 1000 V;
- Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.
Esquema do problema:
Solução
Em primeiro lugar devemos converter a unidade de massa dada em toneladas (t) para quilogramas (kg),
e a velocidade dada em quilômetros por hora (km/h) para metros por segundo (m/s) usadas no
Sistema Internacional (
S.I.).
\[
\begin{gather}
M=100\;\cancel{\text{t}}.\frac{1000\;\text{kg}}{1\;\cancel{\text{t}}}=100.1000\;\text{kg}=100000\;\text{kg}\\[10pt]
M_{V}=15\;\cancel{\text{t}}.\frac{1000\;\text{kg}}{1\;\cancel{\text{t}}}=15.1000\;\text{kg}=15000\;\text{kg}\\[10pt]
v=\frac{72\;\cancel{\text{km}}}{1\;\cancel{\text{h}}}.\frac{1000\;\text{m}}{1\;\cancel{\text{km}}}.\frac{1\;\cancel{\text{h}}}{3600\;\text{s}}=\frac{720\;\text{m}}{36\;\text{s}}=20\;\text{m/s}
\end{gather}
\]
a) A potência gerada por um dos motores será dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathscr{P}=Ui} \tag{I}
\end{gather}
\]
A potência total gerada pelos quatro motores, será
\[
\begin{gather}
\mathscr{P}_{T}=4\mathscr{P} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (I) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
\mathscr{P}_{T}=4Ui \tag{III}
\end{gather}
\]
Da
Mecânica Clássica temos a potência total necessária para fazer a locomotiva se mover
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathscr{P}_{T}=Fv} \tag{IV}
\end{gather}
\]
igualando as expressões (III) e (IV)
\[
\begin{gather}
4Ui=Fv \tag{V}
\end{gather}
\]
Para fazer a locomotiva andar os motores devem superar a força de atrito. Pela Figura 1, as
rodas do trem empurram os trilhos para trás com a força
\( \vec{F} \),
os trilhos reagem nas rodas com a força de atrito
\( {\vec{F}}_{at} \)
para frente fazendo o trem andar (
3.ª Lei de Newton)
\[
\begin{gather}
F=F_{at}=\mu N \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
4Ui=\mu Nv \tag{VII}
\end{gather}
\]
A força normal
\( \vec{N} \)
e a força peso
\( \vec{P} \)
da locomotiva se cancelam (Figura 2)
\[
\begin{gather}
N=P \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
4Ui=\mu Pv \tag{IX}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=Mg} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (X) na expressão (IX)
\[
\begin{gather}
4Ui=\mu Mgv\\
i=\frac{\mu Mgv}{4U} \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
i=\frac{0,5.100000.10.20}{4.1000}\\
i=\frac{10000000}{4000}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{i=2500\;\text{A}}
\]
b) Aplicando a expressão (XI) para a corrente e usando os dados deste item, temos a massa total
MT que pode ser impulsionada pelos motores
\[
\begin{gather}
M_{T}=\frac{4Ui}{\mu
gv}\\M_{T}=\frac{5.1000.4000}{0,5.10.20}\\
M_{T}=\frac{16000000}{100}\\
M_{T}=160000\;\text{kg}
\end{gather}
\]
Desta massa total, temos que 100 000 kg representam a massa da própria locomotiva, então sobra para os vagões
\( 1600000-100000=60000\;\text{kg} \),
\[
1600000-100000=60000\;\text{kg,}
\]
como cada vagão tem uma massa de 15 000 kg, o número de vagões será
\[
n=\frac{60000\;\cancel{\text{kg}}}{15000\frac{\cancel{\text{kg}}}{\text{vagão}}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{n=4\;\text{vagões}}
\]