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Exercício Resolvido de Corrente Elétrica


Uma locomotiva elétrica de 100 toneladas é impulsionada por quatro motores elétricos alimentados com uma tensão de 1000 volts e se move a uma velocidade de 72 km/h. Adotando-se o coeficiente de atrito entre as rodas da locomotiva e os trilhos como sendo igual a 0,5 e a aceleração da gravidade g = 10 m/s2, determinar:
a) A corrente elétrica que circula em cada motor;
b) Se em cada motor circular uma corrente de 4000 ampères quantos vagões, de 15 toneladas cada, a locomotiva será capaz de puxar?


Dados do problema:
  • Massa da locomotiva:    M = 100 t;
  • Massa dos vagões:    MV = 15 t;
  • Velocidade da locomotiva:    v = 72 km/h;
  • Coeficiente de atrito:    μ = 0,5;
  • Tensão da rede:    U = 1000 V;
  • Aceleração da gravidade:    g = 10 m/s2.
Esquema do problema:

Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter as unidades de massa, dada em toneladas, e de velocidade, dada em quilômetros por hora, para quilogramas e metros por segundo, respectivamente, usadas no Sistema Internacional (S.I.).
\[ \begin{gather} M=100\;\cancel{\text{t}}.\frac{1000\;\text{kg}}{1\;\cancel{\text{t}}}=100.1000\;\text{kg}=100000\;\text{kg}\\[10pt] M_{V}=15\;\cancel{\text{t}}.\frac{1000\;\text{kg}}{1\;\cancel{\text{t}}}=15.1000\;\text{kg}=15000\;\text{kg}\\[10pt] v=\frac{72\;\cancel{\text{km}}}{1\;\cancel{\text{h}}}.\frac{1000\;\text{m}}{1\;\cancel{\text{km}}}.\frac{1\;\cancel{\text{h}}}{3600\;\text{s}}=\frac{720\;\text{m}}{36\;\text{s}}=20\;\text{m/s} \end{gather} \]
a) A potência gerada por um dos motores será dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=Ui} \tag{I} \end{gather} \]
A potência total gerada pelos quatro motores, será
\[ \begin{gather} P_{T}=4P \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a expressão (I) em (II), temos
\[ \begin{gather} P_{T}=4Ui \tag{III} \end{gather} \]
Da Mecânica Clássica temos a potência total necessária para fazer a locomotiva se mover
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P_{T}=Fv} \tag{IV} \end{gather} \]
igualando as expressões (III) e (IV)
\[ \begin{gather} 4Ui=Fv \tag{V} \end{gather} \]
Para fazer a locomotiva andar os motores devem vencer a força de atrito. Pela Figura 1, as rodas do trem empurram os trilhos para trás com a força \( \vec{F} \), os trilhos reagem nas rodas com a força de atrito \( {\vec{F}}_{at} \) para frente fazendo o trem andar (3.ª Lei de Newton), assim
\[ \begin{gather} F=F_{at}=\mu N \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VI) em (V), obtemos
\[ \begin{gather} 4Ui=\mu Nv \tag{VII} \end{gather} \]
Figura 2

Pela Figura 2 temos que, a força normal (\( \vec{N} \)) e a força peso (\( \vec{P} \)) da locomotiva se cancelam
\[ \begin{gather} N=P \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a igualdade (VIII) na expressão (VII)
\[ \begin{gather} 4Ui=\mu Pv \tag{IX} \end{gather} \]
a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=Mg} \tag{X} \end{gather} \]
substituindo a expressão (X) em (IX), temos
\[ \begin{gather} 4Ui=\mu Mgv\\ i=\frac{\mu Mgv}{4U} \tag{XI} \end{gather} \]
substituindo os valores fornecidos no problema obtemos finalmente
\[ \begin{gather} i=\frac{0,5.100000.10.20}{4.1000}\\ i=\frac{10000000}{4000} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {i=2500\;\text{A}} \]

b) Usando a expressão (XI) para a corrente, obtida no item anterior, e usando os dados deste item, temos a massa total que pode ser impulsionada pelos motores (MT)
\[ \begin{gather} M_{T}=\frac{4Ui}{\mu gv}\\M_{T}=\frac{5.1000.4000}{0,5.10.20}\\ M_{T}=\frac{16000000}{100}\\ M_{T}=160000\;\text{kg} \end{gather} \]
Figura 3

Desta massa total, temos que 100 000 kg representam a massa da própria locomotiva, então sobra para os vagões \( 1600000-100000=60000\;\text{kg} \),
\[ 1600000-100000=60000\;\text{kg,} \]
como cada vagão tem uma massa de 15 000 kg, o número de vagões será
\[ n=\frac{60000\;\cancel{\text{kg}}}{12000\frac{\cancel{\text{kg}}}{\text{vagão}}} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {n=4\;\text{vagões}} \]
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