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Exercício Resolvido de Corrente Elétrica


Um fio condutor de níquel tem 50 m de comprimento e 0,5 mm de diâmetro. Entre os extremos deste fio aplica-se uma diferença de potencial de 110 volts. A resistividade do níquel é 0,342 Ω.mm2.m−1. Determine-se:
a) A condutividade do níquel;
b) A resistência do fio;
c) A condutância do mesmo;
d) A intensidade da corrente;
e) A potência absorvida.
f ) A energia absorvida em 1 hora;


Dados do problema:
  • Comprimento do fio:    L = 50 m;
  • Diâmetro do fio:    d = 0,5 mm;
  • d.d.p. entre as extremidades do fio:    U = 110 V;
  • Resistividade do níquel:    ρ = 0,342 Ω.mm2.m−1.
Esquema do problema:

Figura 1

Solução

Em primeiro lugar vamos converter o diâmetro do fio dado em milímetros quadrados (mm2) para metros quadrados (m2), a resistividade do níquel dada em ohm-milímetro quadrado por metro (Ω.mm2.m−1) para ohm-metro (Ω.m) e intervalo de tempo do item (f), dado em horas, para segundos, utilizado no Sistema Internacional (S.I.)
\[ \begin{gather} d=0,5\;\cancel{\text{mm}}.\frac{10^{-3}\;\text{m}}{1\;\cancel{\text{mm}}}=5.10^{-1}.10^{-3}\;\text{m}=5.10^{-4}\;\text{m}\\[10pt] \rho=0,342\;\frac{\Omega.\cancel{\text{mm}^{2}}}{\text{m}}.\frac{\left(10^{-3}\;\text{m}\right)^{2}}{1\;\cancel{\text{mm}^{2}}}=3,42.10^{-1}\;\frac{\Omega}{\cancel{\text{m}}}.10^{-6}\;\text{m}^{\cancel{2}}=3,42.10^{-7}\;\Omega\text{m}\\[10pt] 1\;\text{hora}=3600\;\text{segundos} \end{gather} \]
a) A condutividade (γ) será dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\gamma =\frac{1}{\rho }} \]
\[ \begin{gather} \gamma =\frac{1}{3,42.10^{-7}}\\ \gamma =0,292.10^{7}\\ \gamma =2,92.10^{-1}.10^{7} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\gamma =2,92.10^{6}\;\text{S/m}} \]

b) A resistência (R) do fio será
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {R=\rho \frac{L}{A}} \tag{I} \end{gather} \]
onde A é a área transversal do fio, sendo a área um círculo dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {A=\pi r^{2}} \]
o raio do fio será a metade do diâmetro dado no problema \( r=\dfrac{d}{2} \), então
\[ \begin{gather} A=\pi \left(\frac{d}{2}\right)^{2} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) em (I), a resistência será
\[ R=\rho \frac{L}{\pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^{2}} \]
substituindo os dados do problema e adotando π = 3,14, temos
\[ \begin{gather} R=3,42.10^{-7}.\frac{50}{3,14.\left(\dfrac{5.10^{-4}}{2}\right)^{2}}\\ R=3,42.10^{-7}.\frac{50}{3,14.\dfrac{25.10^{-8}}{4}}\\ R=\frac{4.3,42.10^{-7}.50}{3,14.25.10^{-8}}\\ R=\frac{4.3,42.2}{3,14}.10^{-7}.10^{8}\\ R=\frac{13,68}{3,14}.10 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {R=87,1\;\Omega} \]

c) A condutância (C) é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {C=\frac{1}{R}} \]
\[ C=\frac{1}{87,1} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {C=0,011\;\text{S}} \]

d) Da 1.ª Lei de Ohm temos
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {U=Ri} \]
\[ \begin{gather} i=\frac{U}{R}\\ i=\frac{110}{67,1} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {i=1,26\;\text{A}} \]

e) A potência absorvida pelo fio será
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {P=Ri^{2}} \]
\[ \begin{gather} P=87,1.(1,26)^{2}\\ P=87,1.1,59 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {P=138,5\;\text{W}} \]

f) A energia é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta E=P\Delta t} \]
\[ \Delta E=138,5.3600 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta E=498600\;\text{J}} \]
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