Um fio condutor de níquel tem 50 m de comprimento e 0,5 mm de diâmetro. Entre os extremos deste fio aplica-se uma
diferença de potencial de 110 volts. A resistividade do níquel é 0,342 Ω.mm
2.m
−1.
Determine-se:
a) A condutividade do níquel;
b) A resistência do fio;
c) A condutância do fio;
d) A intensidade da corrente;
e) A potência absorvida.
f ) A energia absorvida em 1 hora;
Dados do problema:
- Comprimento do fio: L = 50 m;
- Diâmetro do fio: d = 0,5 mm;
- d.d.p. entre as extremidades do fio: U = 110 V;
- Resistividade do níquel: ρ = 0,342 Ω.mm2.m−1.
Esquema do problema:
Solução
Em primeiro lugar vamos converter o diâmetro do fio dado em milímetros (mm) para metros (m), a
resistividade do níquel dada em ohm-milímetro quadrado por metro
(Ω.mm
2.m
−1) para ohm-metro (Ω.m) e intervalo de tempo do
item (f), dado em horas (h), para segundos (s), utilizado no
Sistema Internacional (
S.I.)
\[
\begin{gather}
d=0,5\;\cancel{\text{mm}}.\frac{10^{-3}\;\text{m}}{1\;\cancel{\text{mm}}}=5.10^{-1}.10^{-3}\;\text{m}=5.10^{-4}\;\text{m}\\[10pt]
\rho=0,342\;\frac{\Omega.\cancel{\text{mm}^{2}}}{\text{m}}.\frac{\left(10^{-3}\;\text{m}\right)^{2}}{1\;\cancel{\text{mm}^{2}}}=3,42.10^{-1}\;\frac{\Omega}{\cancel{\text{m}}}.10^{-6}\;\text{m}^{\cancel{2}}=3,42.10^{-7}\;\Omega\text{m}\\[10pt]
1\;\text{hora}=3600\;\text{segundos}
\end{gather}
\]
a) A condutividade σ é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\sigma =\frac{1}{\rho }}
\]
\[
\begin{gather}
\sigma =\frac{1}{3,42.10^{-7}}\\
\sigma =0,292.10^{7}\\
\sigma =2,92.10^{-1}.10^{7}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\sigma =2,92.10^{6}\;\text{S/m}}
\]
b) A resistência
R do fio é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{R=\rho \frac{L}{A}} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde
A é a área transversal do fio, a área um círculo é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{A=\pi r^{2}}
\]
o raio do fio será a metade do diâmetro dado no problema
\( r=\dfrac{d}{2} \)
\[
\begin{gather}
A=\pi \left(\frac{d}{2}\right)^{2} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na expressão (I), a resistência será
\[
R=\rho \frac{L}{\pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^{2}}
\]
substituindo os dados do problema e adotando π = 3,14
\[
\begin{gather}
R=3,42.10^{-7}.\frac{50}{3,14.\left(\dfrac{5.10^{-4}}{2}\right)^{2}}\\
R=3,42.10^{-7}.\frac{50}{3,14.\dfrac{25.10^{-8}}{4}}\\
R=\frac{4.3,42.10^{-7}.50}{3,14.25.10^{-8}}\\
R=\frac{4.3,42.2}{3,14}.10^{-7}.10^{8}\\
R=\frac{13,68}{3,14}.10
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{R=87,1\;\Omega}
\]
c) A condutância
G é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{G=\frac{1}{R}}
\]
\[
G=\frac{1}{87,1}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{G=0,011\;\text{S}}
\]
d) Usando a
1.ª Lei de Ohm
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{U=Ri}
\]
\[
\begin{gather}
i=\frac{U}{R}\\
i=\frac{110}{67,1}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{i=1,26\;\text{A}}
\]
e) A potência absorvida pelo fio é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{P=Ri^{2}}
\]
\[
\begin{gather}
P=87,1.(1,26)^{2}\\
P=87,1.1,59
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{P=138,5\;\text{W}}
\]
f) A energia é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta E=P\Delta t}
\]
\[
\Delta E=138,5.3600
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta E=498600\;\text{J}}
\]