Exercício Resolvido de Campo Magnético
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Na figura, temos três fios condutores retos, A, B e C, paralelos e extensos. Os fios são percorridos por correntes iA=10 A, iB=20 A e iC=30 A, nos sentidos indicados, e encontram-se a uma distância \( L=2\sqrt{3\;}\ \text{m} \) um do outro. Determine o vetor campo magnético no centro O do triângulo (baricentro).
Adotar \( \mu_{0}=4\pi .10^{-7}\frac{\text{T.m}}{\text{A}} \).


Dados do problema:
  • Corrente no fio A:    iA = 10 A;
  • Corrente no fio B:    iB = 20 A;
  • Corrente no fio C:    iC = 30 A;
  • Distância entre os fios:    \( L=2\sqrt{3\;}\ \text{m} \);
  • Permeabilidade magnética do vácuo:    \( \mu_{0}=4\pi .10^{-7}\frac{\text{T.m}}{\text{A}} \).
Esquema do problema:

Figura 1

Solução

Como a distância entre os fios é a mesma eles ocupam os vértices de um triângulo equilátero. A distância dos fios A, B e C ao ponto O onde se deseja o valor do campo magnético pode ser calculada com base na Figura 2.
A altura \( \overline{AM} \) é perpendicular ao lado \( \overline{BC} \), e divide este lado em duas partes iguais, assim \( \overline{BM}=\frac{\overline{BC}}{2}=\frac{2\sqrt{3\;}}{2}=\sqrt{3\;}\;\text{m} \). O segmento \( \overline{OB} \) divide o ângulo \( A\hat{B}C \) ao meio, portanto o ângulo \( O\hat{B}M \) vale 30°, assim a distância r dos fios ao centro O será \( r=\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC} \).
Figura 2
\[ \begin{gather} \cos 30°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\overline{{BM}}}{r}\\ r=\frac{\overline{{BM}}}{\cos 30°}=\frac{\sqrt{3\;}}{\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}}=\cancel{\sqrt{3\;}}.\frac{2}{\cancel{\sqrt{3\;}}}=2\;\text{m} \end{gather} \]
O módulo do campo magnético de um fio reto é calculado pela expressão
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {B=\frac{\mu _{0}}{2\pi}\frac{i}{r}} \tag{I} \end{gather} \]
O vetor indução magnética \( {\vec{B}}_{A} \), devido à corrente que percorre o fio A, será dado pela regra da mão direita, será tangente à linha de indução magnética no ponto O e perpendicular ao segmento \( \overline{OA} \) (Figura 3), aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} B_{A}=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{i_{A}}{r}\\ B_{A}=\frac{\cancel{4}\cancel{\pi} .10^{-7}}{\cancel{2}\cancel{\pi}}.\frac{10}{\cancel{2}}\\ B_{A}=10.10^{-7}\;\text{T} \end{gather} \]

Figura 3

O vetor indução magnética \( {\vec{B}}_{B} \), devido à corrente que percorre o fio B será dado pela regra da mão direita, será tangente a linha de indução magnética no ponto O e perpendicular ao segmento \( \overline{OB} \) (Figura 4). O ângulo \( O\hat{B}C \) é igual a 30°, este ângulo e o ângulo α são alternos internos, então α também vale 30°. O ângulo β será
\[ \begin{gather} \alpha +90°+\beta=180°\\ 30°+90°+\beta =180°\\\ \beta=180°-120°\\\ \beta =60° \end{gather} \]
Figura 4

Aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} B_{B}=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{i_{B}}{r}\\ B_{B}=\frac{\cancel{4}\cancel{\pi} .10^{-7}}{\cancel{2}\cancel{\pi}}\frac{20}{\cancel{2}}\\ B_{B}=20.10^{-7}\;\text{T} \end{gather} \]
O vetor indução magnética \( {\vec{B}}_{C} \), devido à corrente que percorre o fio C será dado pela regra da mão direita, será tangente a linha de indução magnética no ponto O e perpendicular ao segmento \( \overline{OC} \) (Figura 5). O ângulo \( O\hat{C}B \) é igual a 30°, este ângulo eo ângulo α são alternos internos, então α também vale 30°. O ângulo β será
\[ \begin{gather} \alpha +\beta =90°\\ 30°+\beta=90°\\ \beta =90°-30°\\ \beta=60° \end{gather} \]
é o ângulo formado entre o vetor \( {\vec{B}}_{C} \) e a horizontal (Figura 5).
Figura 5

Aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} B_{B}=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{i_{B}}{r}\\ B_{B}=\frac{\cancel{4}\cancel{\pi} .10^{-7}}{\cancel{2}\cancel{\pi}}\frac{30}{\cancel{2}}\\ B_{B}=30.10^{-7}\;\text{T} \end{gather} \]
O vetor campo magnético resultante será calculado pela soma vetorial
\[ \vec{B}={\vec{B}}_{A}+{\vec{B}}_{B}+{\vec{B}}_{C} \]
desenhando os vetores \( {\vec{B}}_{A} \), \( {\vec{B}}_{B} \) e \( {\vec{B}}_{C} \) em um sistema de eixos coordenados e calculando as suas componentes nas direções x e y (Figura 6)

Figura 6

Direção x:
\[ \begin{gather} B_{Ax}=B_{A}\cos 0°=10.10^{-7}.1=10.10^{-7}\;\text{T}\\[5pt] B_{BX}=B_{B}\cos (-60°)=B_{B}\cos 60°=20.10^{-7}.\frac{1}{2}=10.10^{-7}\;\text{T}\\[5pt] B_{Cx}=B_{C}\cos 60°=30.10^{-7}.\frac{1}{2}=15.10^{-7}\;\text{T} \end{gather} \]
O módulo do vetor resultante na direção x será
\[ \begin{gather} B_{x}=B_{Ax}+B_{BX}+B_{Cx}\\ B_{x}=10.10^{-7}+10.10^{-7}+15.10^{-7}\\ B_{x}=35.10^{-7}\;\text{T} \end{gather} \]
Direção y:
\[ \begin{gather} B_{Ay}=B_{A}\operatorname{sen}0=10.10^{-7}.0=0\\[5pt] B_{By}=B_{B}\operatorname{sen}(-60°)=-B_{B}\operatorname{sen}60°=-20.10^{-7}.\frac{\sqrt{3\;}}{2}=-10\sqrt{3\;}.10^{-7}\;\text{T}\\[5pt] B_{Cy}=B_{C}\operatorname{sen}60°=30.10^{-7}.\frac{\sqrt{3\;}}{2}=15\sqrt{3\;}.10^{-7}\;\text{T} \end{gather} \]
O módulo do vetor resultante na direção y será
\[ \begin{gather} B_{y}=B_{Ay}+B_{By}+B_{Cy}\\ B_{y}=0-10\sqrt{3\;}.10^{-7}+15\sqrt{3\;}.10^{-7}\\ B_{y}=5\sqrt{3\;}.10^{-7}\;\text{T} \end{gather} \]
O módulo do vetor resultante \( \vec{B} \) será calculado aplicando-se o Teorema de Pitágoras (Figura 7-A)
\[ \begin{gather} B^{2}=B_{x}^{2}+B_{y}^{2}\\ B^{2}=\left(\;35.10^{-7}\;\right)^{2}+\left(\;5\sqrt{3\;}.10^{-7}\;\right)^{2}\\ B^{2}=\left(\;1225.10^{-14}\;\right)+\left(\;25.3.10^{-14}\;\right)\\ B^{2}=(\;1225+75\;).10^{-14}\\ B=\sqrt{1300.10^{-14}\;}\\ B=3,6.10^{-6}\;\text{T} \end{gather} \]
Figura 7

O vetor \( \vec{B} \) formará com o eixo-x um ângulo θ dado por
\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\theta =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{B_{y}}{B_{x}}\\ \operatorname{tg}\theta=\frac{5\sqrt{3\;}.\cancel{10^{-7}}}{35.\cancel{10^{-7}}}\\ \operatorname{tg}\theta \simeq0,25\\ \theta =\operatorname{arctg}(0,25)\simeq 14° \end{gather} \]
O vetor resultante é mostrada na Figura 7-B

Intensidade: 3,6.10−7 T ;
Direção: formando um ângulo de 14º com a horizontal ;
Sentido: para a direita .
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