Exercício Resolvido de Termometira
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Pode-se medir a temperatura com um termômetro de mercúrio. Neste, a grandeza termométrica é o comprimento ℓ de uma coluna de capilar, medida a partir de uma origem comum. Verifica-se que ℓ =2,34 cm, quando o termômetro está em equilíbrio térmico com o gelo em fusão e ℓ = 12,34 cm quando o equilíbrio térmico é com água em ebulição (num ambiente em que a pressão atmosférica é 1 atm).
a) Determine a equação termométrica de tal termômetro;
b) Calcule o comprimento da coluna de mercúrio quando a temperatura é θ = 25 °C;
c) Calcule a temperatura do ambiente quando ℓ =8,84 cm.


Dados do problema:
  • Comprimento do capilar quando o termômetro está em equilíbrio térmico com o gelo em fusão:    ℓ1 = 2,34 cm;
  • Comprimento do capilar quando o termômetro está em equilíbrio térmico com água em ebulição:    ℓ2 = 12,34 cm.
Esquema do problema:

Figura 1

O problema não nos fornece as temperaturas do gelo em fusão e da água em ebulição, mas nos diz que o ambiente está a pressão atmosférica de 1 atm
  • Temperatura do gelo em fusão:    θ1 = 0 °C;
  • Temperatura da água em ebulição:    θ2 = 100 °C.
Solução

a) Para encontrar a equação termométrica escrevemos
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{g-g_{1}}{g_{2}-g_{1}}=\frac{t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}} \]
onde a grandeza termométrica g para esse problema é o comprimento da coluna de mercúrio ℓ
\[ \frac{\ell-\ell_{1}}{\ell_{2}-\ell_{1}}=\frac{\theta -\theta _{1}}{\theta_{2}-\theta _{1}} \]
substituindo os valores dados no problema
\[ \begin{gather} \frac{\ell-2,34}{12,34-2,34}=\frac{\theta-0}{100-0}\\ \frac{\ell-2,34}{10}=\frac{\theta }{100}\\ \theta=10\cancel{0}.\frac{\ell-2,34}{\cancel{10}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta =10(\ell-2,34)} \]

b) Para achar o comprimento da coluna de mercúrio vamos usar a expressão encontrada acima, para θ = 25 ºC
\[ \begin{gather} 25=10(\ell-2,34)\\25=10\ell-10.2,34\\ 10\ell=25+23,4\\ \ell=\frac{48,4}{10} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\ell=4,84\;\text{cm}} \]

c) Para ℓ = 8,84 cm, usando a expressão do item (a)
\[ \begin{gather} \theta =10(8,84-2,34)\\ \theta =10.8,84-10.2,34\\ \theta=88,4-23,4 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta =65\;\text{°C}} \]
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