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Exercício Resolvido de Termodinâmica


Um canhão lança um projétil de massa igual a 1225 kg com velocidade de 762 m/s. O projétil é propelido por uma massa de pólvora de 300 kg, sabe-se que 1 g de pólvora queima produzindo 1500 cal. Pergunta-se qual o rendimento deste canhão considerado como uma máquina térmica. Adote 1 cal = 4,2 J.


Dado do problema:
  • Massa da bala (projétil):    mB = 1225 kg;
  • Velocidade do projétil:    v = 762 m/s;
  • Massa de pólvora:    mP = 300 kg;
  • Calor produzido pela queima da pólvora:    q = 1500 cal/g.
Esquema do problema:

A massa de pólvora (mP) quando é detonada produz uma quantidade de calor (Q), esta energia produzida realiza um trabalho (W) sobre a bala de massa (mB). Este trabalho será a energia cinética (Ec) que a bala adquire sendo disparada com velocidade v (Figura 1).

Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter a quantidade de calor produzida pela queima da pólvora de calorias por grama (cal/g) para joules por quilogramas (J/kg)
\[ q=1500\;\frac{\cancel{\text{cal}}}{\cancel{\text{g}}}.\frac{4,2\;\text{J}}{1\;\cancel{\text{cal}}}.\frac{1000\;\cancel{\text{g}}}{1\;\text{kg}}=6300000\;\frac{\text{J}}{\text{kg}}=6,3.10^{6}\;\frac{\text{J}}{\text{kg}} \]
A energia total produzida pela detonação da pólvora será de
\[ \begin{gather} Q=m_{B}q\\ Q=300.6,3.10^{6}\\ Q=3.10^{2}.6,3.10^{6}\\ Q=18,9.10^{2}.10^{6}\\ Q\simeq 1,9.10^{9}\;\text{J} \tag{I} \end{gather} \]
A energia cinética é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {E_{c}=\frac{m_{P}v^{2}}{2}} \]
para a energia adquirida pelo projétil temos
\[ \begin{gather} E_{c}=\frac{1225.762^{2}}{2}\\ E_{c}=\frac{1225.580664}{2}\\ E_{c}=\frac{711288900}{2}\\ E_{c}=355644450\\ E_{c}\simeq 3,6.10^{8}\;\text{J} \tag{II} \end{gather} \]
O rendimento é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\eta =\frac{W}{Q}} \]
Como o trabalho realizado é igual à energia cinética (W = Ec) o rendimento será de
\[ \begin{gather} \eta =\frac{3,6.10^{8}}{1,9.10^{9}}\\ \eta=\frac{3,6.10^{8}}{1,9.10^{\;9}}\\ \eta \simeq 1,89.10^{8}.10^{-9}\\ \eta\simeq 1,89.10^{-1}\\ \eta \simeq 0,189=\frac{18,9}{100} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\eta \simeq 18,9\;\text{%}} \]
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