Exercício Resolvido de Prismas
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Um prisma possui ângulo de refringência de 60° e índice de refração igual à \( \sqrt{2} \). Um raio de luz incide sobre uma face com ângulo de incidência de 45°. Determine:
a) O ângulo de emergência do raio luminoso;
b) O desvio total sofrido pelo raio luminoso.


Dados do problema:
  • Ângulo de refringência do prisma:    Â = 60°;
  • Ângulo de incidência do raio luminoso:    î1 = 45°;
  • Índice de refração do prisma:    \( n_{2}=\sqrt{2} \).
Esquema do problema:

Admitindo que o prisma está no ar, o índice de refração do ar é 1 (n1 = 1).

Figura 1

As grandezas com índice 1 referem-se ao exterior do prisma, e as grandezas com índice 2 referem-se ao interior do prisma.

Solução

a) O raio de luz é refratado para dentro do prisma, para encontrarmos o ângulo \( \hat{r}_{1} \) que ele forma com a normal à face do prisma aplicamos a Lei de Snell-Descartes (Figura 2).
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {n_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}=n_{2}\operatorname{sen}\theta _{2}} \]
\[ \begin{gather} n_{1}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{1}=n_{2}\operatorname{sen}{\hat{r}}_{2}\\ 1.\operatorname{sen}45°=\sqrt{2}\operatorname{sen}{\hat{r}}_{2}\\ 1.\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\operatorname{sen}{\hat{r}}_{2}\\ \operatorname{sen}{\hat{r}}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \operatorname{sen}{\hat{r}}_{2}=\frac{1}{2}\\ {\hat{r}}_{2}=\operatorname{arc sen}\left(\frac{1}{2}\right)\\ {\hat{r}}_{2}=30° \end{gather} \]
Figura 2

Usando a expressão entre o ângulo de refringência do prisma Â, o ângulo refratado na primeira face \( {\hat{r}}_{2} \) e o ângulo incidente na segunda face \( {\hat{i}}_{2} \) (Figura 3)
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\hat{A}={\hat{r}}_{2}+{\hat{i}}_{2}} \]
\[ \begin{gather} 60°=30°+{\hat{i}}_{2}\\ {\hat{i}}_{2}=60°-30°\\ {\hat{i}}_{2}=30° \end{gather} \]
Figura 3

O raio de luz é refratado na segunda face para fora do prisma, para encontrarmos o ângulo \( {\hat{r}}_{1} \) que ele forma com a normal à face do prisma aplicamos, novamente, a Lei de Snell-Descartes (Figura 4)

\[ \begin{gather} n_{2}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}=n_{1}\operatorname{sen}{\hat{r}}_{1}\\ \sqrt{2}.\operatorname{sen}30°=1.\operatorname{sen}{\hat{r}}_{1}\\ \sqrt{2}.\frac{1}{2}=\operatorname{sen}{\hat{r}}_{1}\\ \operatorname{sen}{\hat{r}}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ {\hat{r}}_{1}=\operatorname{arc sen}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {{\hat{r}}_{1}=45°} \]
Figura 4

b) O desvio total será dado por (Figura 5)
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta={\hat{i}}_{1}+{\hat{r}}_{1}-\hat{A}} \]
\[ \Delta =45°+45°-60° \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta =30°} \]
Figura 5
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