Exercício Resolvido de Espelhos Esféricos
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Determinar a posição e altura da imagem conjugada por um espelho esférico de raio 60 cm, a um objeto de altura 3 cm situado a 20 cm do vértice do espelho, no caso:
a) Do espelho ser convexo;
b) Do espelho ser côncavo.


Dados do problema:
  • Raio de curvatura do espelho:    R = 60 cm;
  • Altura do objeto:    o = 3 cm;
  • Distância do objeto ao vértice do espelho:    p = 20 cm.
Solução

a) Adota-se um Referencial de Gauss, sendo positiva a direção horizontal de onde vem o raio de luz (a esquerda, onde está o objeto) e para cima na direção vertical (Figura 1).
Figura 1

A distância do foco ao vértice será a metade do raio de curvatura, como o espelho é convexo seu foco é negativo (f < 0)
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {f=-{\frac{R}{2}}} \]
\[ \begin{gather} f=-{\frac{60}{2}}\\ f=-30\;\text{cm} \tag{I} \end{gather} \]
Construção da imagem no espelho convexo

Desenhando um primeiro raio de luz usando a propriedade dos espelhos esféricos que diz que todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho (Figura 2).
Figura 2

Desenhando um segundo raio com a propriedade de que todo raio de luz que incide no vértice do espelho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal (Figura 3). Como não há cruzamento dos raios refletidos na frente do espelho, vemos que eles se cruzam atrás do espelho onde se forma a imagem.
Figura 3

Esquema do item (a)

Figura 4

Para o cálculo da distância da imagem ao espelho é dada pela Equação dos Pontos Conjugados
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{II} \end{gather} \]
usando a distância do objeto ao espelho dada no problema e a distância focal obtida em (I)
\[ \begin{gather} \frac{1}{-30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{p'}\\ -{\frac{1}{30}}=\frac{1}{20}+\frac{1}{p'}\\ \frac{1}{p'}=-{\frac{1}{30}}-\frac{1}{20} \end{gather} \]
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 30 e 20 é 60
\[ \begin{gather} \frac{1}{p'}=\frac{-2-3}{60}\\ \frac{1}{p'}=\frac{-5}{60}\\ p'=-{\frac{60}{5}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {p'=-12\;\text{cm}} \]
O tamanho da imagem é dado pela Equação do Aumento Linear Transversal
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}} \tag{III} \]
usando a distância do objeto ao espelho dada no problema, a distância focal obtida em (I) e a distância da imagem ao espelho obtida acima
\[ \begin{gather} \frac{i}{3}=-{\frac{(-12)}{20}}\\ \frac{i}{3}=\frac{12}{20}\\ i=\frac{3.12}{20}\\ i=\frac{36}{20} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {i=1,8\;\text{cm}} \]
b) Adota-se um Referencial de Gauss, sendo positiva a direção horizontal de onde vem o raio de luz (a esquerda, onde está o objeto) e para cima na direção vertical (Figura 5).
Figura 5

A distância do foco ao vértice será a metade do raio de curvatura, como o espelho é côncavo seu foco é positivo (f > 0)
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {f=\frac{R}{2}} \]
\[ \begin{gather} f=\frac{60}{2}\\ f=30\;\text{cm} \tag{IV} \end{gather} \]
Construção da imagem do espelho côncavo

Desenhando um primeiro raio de luz usando a propriedade dos espelhos esféricos que diz que todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho (Figura 6).
Figura 6

Desenhando um segundo raio com a propriedade de que todo raio de luz que incide no vértice do espelho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal (Figura 7). Como não há cruzamento dos raios refletidos na frente do espelho, vemos que eles se cruzam atrás do espelho onde se forma a imagem.
Figura 7

Esquema do item (b)

Figura 8

Usando a expressão (II) calculamos a distância da imagem ao espelho, substituindo a distância do objeto ao espelho dada no problema e a distância focal calculada em (IV)
\[ \begin{gather} \frac{1}{30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{p'}\\ \frac{1}{p'}=\frac{1}{30}-\frac{1}{20} \end{gather} \]
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 30 e 20 é 60
\[ \begin{gather} \frac{1}{p'}=\frac{2-3}{60}\\ \frac{1}{p'}=\frac{-1}{60} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {p'=-60\;\text{cm}} \]
Usando a expressão (III) calculamos o tamanho da imagem, substituindo a distância do objeto ao espelho dada no problema, a distância focal calculada em (IV) e a distância da imagem ao espelho, obtida acima
\[ \begin{gather} \frac{i}{3}=-{\frac{(-60)}{20}}\\ \frac{i}{3}=\frac{60}{20}\\ \frac{i}{3}=3\\ i=3.3 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {i=9\;\text{cm}} \]
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