Determinar a posição e altura da imagem conjugada por um espelho esférico de raio 60 cm, a um objeto de altura 3 cm
situado a 20 cm do vértice do espelho, no caso:
a) Do espelho ser convexo;
b) Do espelho ser côncavo.
Dados do problema:
- Raio de curvatura do espelho: R = 60 cm;
- Altura do objeto: o = 3 cm;
- Distância do objeto ao vértice do espelho: p = 20 cm.
Solução
a) Adota-se um Referencial de Gauss, sendo positiva a direção horizontal de onde vem o raio de luz (a
esquerda, onde está o objeto) e para cima na direção vertical (Figura 1).
A distância do foco ao vértice será a metade do raio de curvatura, como o espelho é convexo seu foco é negativo
(
f < 0)
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{f=-{\frac{R}{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
f=-{\frac{60}{2}}\\
f=-30\;\text{cm} \tag{I}
\end{gather}
\]
Construção da imagem no espelho convexo
Desenhando um primeiro raio de luz usando a propriedade dos espelhos esféricos que diz que todo raio de
luz que incide paralelamente ao eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho
(Figura 2).
Desenhando um segundo raio com a propriedade de que todo raio de luz que incide no vértice do espelho
reflete-se de forma simétrica ao eixo principal (Figura 3). Como não há cruzamento dos raios refletidos
na frente do espelho, vemos que eles se cruzam atrás do espelho onde se forma a imagem.
Esquema do item (a)
Para o cálculo da distância da imagem ao espelho é dada pela
Equação dos Pontos Conjugados
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{II}
\end{gather}
\]
usando a distância do objeto ao espelho dada no problema e a distância focal obtida em (I)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{-30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{p'}\\
-{\frac{1}{30}}=\frac{1}{20}+\frac{1}{p'}\\
\frac{1}{p'}=-{\frac{1}{30}}-\frac{1}{20}
\end{gather}
\]
o
Mínimo Múltiplo Comum (
M.M.C.) entre 30 e 20 é 60
\[
\begin{gather}
\frac{1}{p'}=\frac{-2-3}{60}\\
\frac{1}{p'}=\frac{-5}{60}\\
p'=-{\frac{60}{5}}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{p'=-12\;\text{cm}}
\]
O tamanho da imagem é dado pela
Equação do Aumento Linear Transversal
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}} \tag{III}
\]
usando a distância do objeto ao espelho dada no problema, a distância focal obtida em (I) e a distância da imagem
ao espelho obtida acima
\[
\begin{gather}
\frac{i}{3}=-{\frac{(-12)}{20}}\\
\frac{i}{3}=\frac{12}{20}\\
i=\frac{3.12}{20}\\
i=\frac{36}{20}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{i=1,8\;\text{cm}}
\]
b) Adota-se um Referencial de Gauss, sendo positiva a direção horizontal de onde vem o raio de luz (a
esquerda, onde está o objeto) e para cima na direção vertical (Figura 5).
A distância do foco ao vértice será a metade do raio de curvatura, como o espelho é côncavo seu foco é positivo
(
f > 0)
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{f=\frac{R}{2}}
\]
\[
\begin{gather}
f=\frac{60}{2}\\
f=30\;\text{cm} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Construção da imagem do espelho côncavo
Desenhando um primeiro raio de luz usando a propriedade dos espelhos esféricos que diz que todo raio de
luz que incide paralelamente ao eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho
(Figura 6).
Desenhando um segundo raio com a propriedade de que todo raio de luz que incide no vértice do espelho
reflete-se de forma simétrica ao eixo principal (Figura 7). Como não há cruzamento dos raios refletidos
na frente do espelho, vemos que eles se cruzam atrás do espelho onde se forma a imagem.
Esquema do item (b)
Usando a expressão (II) calculamos a distância da imagem ao espelho, substituindo a distância do objeto ao espelho
dada no problema e a distância focal calculada em (IV)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{p'}\\
\frac{1}{p'}=\frac{1}{30}-\frac{1}{20}
\end{gather}
\]
o
Mínimo Múltiplo Comum (
M.M.C.) entre 30 e 20 é 60
\[
\begin{gather}
\frac{1}{p'}=\frac{2-3}{60}\\
\frac{1}{p'}=\frac{-1}{60}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{p'=-60\;\text{cm}}
\]
Usando a expressão (III) calculamos o tamanho da imagem, substituindo a distância do objeto ao espelho dada no
problema, a distância focal calculada em (IV) e a distância da imagem ao espelho, obtida acima
\[
\begin{gather}
\frac{i}{3}=-{\frac{(-60)}{20}}\\
\frac{i}{3}=\frac{60}{20}\\
\frac{i}{3}=3\\
i=3.3
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{i=9\;\text{cm}}
\]