Exercício Resolvido de Dinâmica
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No sistema da figura, o corpo B desliza sobre um plano horizontal sem atrito, ele está ligado através de um sistema de cordas e polias ideais a dois corpos A e C que se deslocam verticalmente. As massas de A, B e C valem respectivamente 5 kg, 2 kg e 3 kg. Determinar a aceleração do conjunto e a intensidade das forças de tensão nas cordas.

 

Dados do problema:

  • Massa do corpo A:    ma = 5 kg;
  • Massa do corpo B:    mb = 2 kg;
  • Massa do corpo C:    mc = 3 kg;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência no mesmo sentido da aceleração em que o corpo A está descendo.
Figura 1

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam nos blocos.

  • Corpo A (Figura 2):
    • Direção vertical:
      • \( \vec P_a \): peso do corpo A;
      • \( \vec T_{ab} \): força de tensão na corda entre os blocos A e B.
Figura 2
  • Corpo B (Figura 3):
    • Direção vertical:
      • \( \vec P_b \): peso do corpo B;
      • \( \vec N_b \): força de reação normal da superfície sobre o corpo.
    • Direção horizontal:
      • \( \vec T_{ab} \): força de tensão na corda entre os blocos A e B;
      • \( \vec T_{bc} \): força de tensão na corda entre os blocos B e C.
Figura 3
  • Corpo C (Figura 4):
    • Direção vertical:
      • \( \vec P_c \): peso do corpo C;
      • \( \vec T_{bc} \): força de tensão na corda entre os blocos B e C.
Figura 4

Solução:

Aplicando a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Corpo A:

Na direção horizontal não há forças atuando.
Na direção vertical

\[ \begin{gather} P_a-T_{ab}=m_aa \tag{I} \end{gather} \]
  • Corpo B:

Na direção vertical o peso e a normal se anulam, não há movimento vertical.
Na direção horizontal

\[ \begin{gather} T_{ab}-T_{bc}=m_ba \tag{II} \end{gather} \]
  • Corpo C:

Na direção horizontal não há forças atuando.
Na direção vertical

\[ \begin{gather} T_{bc}-P_c=m_ca \tag{III} \end{gather} \]

A força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]

Para os corpos A e C

\[ \begin{gather} P_a=m_ag \tag{IV-a} \\[10pt] P_c=m_cg \tag{IV-b} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV-a) na equação (I)

\[ \begin{gather} m_ag-T_{ab}=m_aa \tag{V-a} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV-b) na equação (III)

\[ \begin{gather} T_{\small {BC}}-m_cg=m_ca \tag{V-b} \end{gather} \]

As equações (II), (V-a) e (V-b) formam um sistema de três equações a três incógnitas (TAB, TBC e a), somando as três equações

\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{array}{rr} m_ag-\cancel{T_{ab}} &=m_aa \\ \cancel{T_{ab}}-\cancel{T_{bc}}&=m_ba \\ \cancel{T_{bc}}-m_cg &=m_ca \end{array} \right.} {m_ag-m_cg=\left(m_a+m_b+m_c\right)a} \\[5pt] a=\frac{m_ag-m_cg}{m_a+m_b+m_c} \\[5pt] a=\frac{5\times 9,8-3\times 9,8}{5+2+3} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a\approx 2\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

Substituindo a massa do corpo A e a aceleração encontrada acima, na primeira equação do sistema, a tensão na corda será

\[ \begin{gather} m_ag-T_{\small {AB}}=m_aa \\[5pt] T_{ab}=m_ag-m_aa \\[5pt] T_{AB}=5\times 9,8-5\times 2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{\small {AB}}=39\; \text N} \end{gather} \]

Substituindo a massa do corpo C e a aceleração encontrada acima, na terceira equação do sistema, a tensão na corda será

\[ \begin{gather} T_{\small {BC}}-m_cg=m_ca \\[5pt] T_{bc}=m_ca+m_cg \\[5pt] T_{BC}=3\times 2+3\times 9,8 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{\small {BC}}\approx 35,4\; \text N} \end{gather} \]
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