No sistema da figura, o corpo B desliza sobre um plano horizontal sem atrito, ele está ligado
através de um sistema de cordas e polias ideais a dois corpos A e C que se deslocam
verticalmente. As massas de A, B e C valem respectivamente 5 kg, 2 kg e 3 kg.
Determinar a aceleração do conjunto e a intensidade das forças de tensão nas cordas.
Dados do problema:
- Massa do corpo A: ma = 5 kg;
- Massa do corpo B: mb = 2 kg;
- Massa do corpo C: mc = 3 kg;
- Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência no mesmo sentido da aceleração em que o corpo A está descendo.
Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam nos blocos.
-
Corpo A (Figura 2):
-
Direção vertical:
- \( \vec P_a \): peso do corpo A;
- \( \vec T_{ab} \): força de tensão na corda entre os blocos A e B.
-
Corpo B (Figura 3):
-
Direção vertical:
- \( \vec P_b \): peso do corpo B;
- \( \vec N_b \): força de reação normal da superfície sobre o corpo.
-
Direção horizontal:
- \( \vec T_{ab} \): força de tensão na corda entre os blocos A e B;
- \( \vec T_{bc} \): força de tensão na corda entre os blocos B e C.
-
Corpo C (Figura 4):
-
Direção vertical:
- \( \vec P_c \): peso do corpo C;
- \( \vec T_{bc} \): força de tensão na corda entre os blocos B e C.
Solução:
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a}
\end{gather}
\]
Na direção horizontal não há forças atuando.
Na direção vertical
\[
\begin{gather}
P_a-T_{ab}=m_aa \tag{I}
\end{gather}
\]
Na direção vertical o peso e a normal se anulam, não há movimento vertical.
Na direção horizontal
\[
\begin{gather}
T_{ab}-T_{bc}=m_ba \tag{II}
\end{gather}
\]
Na direção horizontal não há forças atuando.
Na direção vertical
\[
\begin{gather}
T_{bc}-P_c=m_ca \tag{III}
\end{gather}
\]
A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
Para os corpos A e C
\[
\begin{gather}
P_a=m_ag \tag{IV-a} \\[10pt]
P_c=m_cg \tag{IV-b}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV-a) na equação (I)
\[
\begin{gather}
m_ag-T_{ab}=m_aa \tag{V-a}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV-b) na equação (III)
\[
\begin{gather}
T_{\small {BC}}-m_cg=m_ca \tag{V-b}
\end{gather}
\]
As equações (II), (V-a) e (V-b) formam um sistema de três equações a três incógnitas (TAB,
TBC e a), somando as três equações
\[
\begin{gather}
\frac{
\left\{
\begin{array}{rr}
m_ag-\cancel{T_{ab}} &=m_aa \\
\cancel{T_{ab}}-\cancel{T_{bc}}&=m_ba \\
\cancel{T_{bc}}-m_cg &=m_ca
\end{array}
\right.}
{m_ag-m_cg=\left(m_a+m_b+m_c\right)a} \\[5pt]
a=\frac{m_ag-m_cg}{m_a+m_b+m_c} \\[5pt]
a=\frac{5\times 9,8-3\times 9,8}{5+2+3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a\approx 2\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
Substituindo a massa do corpo A e a aceleração encontrada acima, na primeira equação do sistema,
a tensão na corda será
\[
\begin{gather}
m_ag-T_{\small {AB}}=m_aa \\[5pt]
T_{ab}=m_ag-m_aa \\[5pt]
T_{AB}=5\times 9,8-5\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T_{\small {AB}}=39\; \text N}
\end{gather}
\]
Substituindo a massa do corpo C e a aceleração encontrada acima, na terceira equação do sistema,
a tensão na corda será
\[
\begin{gather}
T_{\small {BC}}-m_cg=m_ca \\[5pt]
T_{bc}=m_ca+m_cg \\[5pt]
T_{BC}=3\times 2+3\times 9,8
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T_{\small {BC}}\approx 35,4\; \text N}
\end{gather}
\]