Exercício Resolvido de Dinâmica

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No sistema da figura ao lado, o corpo B desliza sobre um plano horizontal sem atrito, ele está ligado atrvés de um sistema de cordas e polias ideais a dois corpos A e C que se deslocam verticalmente. As massas de A, B e C valem respectivamente 5 kg, 2 kg e 3 kg. Determinar a aceleração do conjunto e a intensidade das forças de tração nas cordas. Adotar \( g=10\;\text{m/s}^{2} \).
Bloco B de massa 2 kg ligado de ambos os lados a um bloco A de massa 5 kg e a um bloco C de massa 3 kg.


Dados do problema
Esquema do problema

Escolhemos a aceleração no sentido em que o corpo A está descendo. Isolando os corpos e pesquisando as forças que agem em cada um deles aplicamos a 2.ª Lei de Newton

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \]
Aceleração escolhida no sentido em que o bloco A desce, o bloco B se desloca da direita para a esquerda e o bloco C sobe.
figura 1
Corpo A:
  • \( \vec P_{\text{A}} \): peso do corpo A;
  • \( \vec T_{\text{AB}} \): tensão na corda entre os blocos A e B.
Na direção horizontal não há forças atuando, na direção vertical temos que a 2.ª Lei de Newton nos fornece a equação
Bloco A com a força peso PA no mesmo sentido da aceleração do sistema (para baixo) e força de tração TAB no sentido contrário.
figura 2
\[ P_{\text{A}}-T_{\text{AB}}=m_{\text{A}}a \tag{I} \]
Corpo B:

Direção vertical:
  • : \( \vec P_{\text{B}} \) peso do corpo B;
  • : \( \vec N_{\text{B}} \) reação normal da superfície.
Direção horizontal:
  • \( \vec T_{\text{AB}} \): tensão na corda entre os blocos A e B;
  • \( \vec T_{\text{BC}} \): tensão na corda entre os blocos B e C.
Bloco onde atuam a força peso PB, a reação normal NB, a tração na corda TAB, no mesmo sentido da aceleração, e a tração TBC no sentido contrário.
figura 3
Na direção vertical o peso e a normal se anulam, não há movimento vertical.
Na direção horizontal aplicando-se a 2.ª Lei de Newton temos a seguinte equação
\[ T_{\text{AB}}-T_{\text{BC}}=m_{\text{B}}a \tag{II} \]
Corpo C:
  • \( \vec P_{\text{C}} \): peso do corpo C;
  • \( \vec T_{\text{BC}} \): tensão na corda entre os blocos B e C.
Na direção horizontal não há forças atuando, na direção vertical temos que a 2.ª Lei de Newton nos fornece a equação
Bloco C onde atuam as forças peso PC, no sentido contrário da aceleração, e a tração na corda TBC.
figura 4
\[ T_{\text{BC}}-P_{\text{C}}=m_{\text{C}}a \tag{III} \]
Solução

Com as equações (I), (II) e (III) acima temos um sistema de três equações a três incógnitas (TAB, TBC e a), somando as três equações temos
\[ \frac{ \left\{ \begin{array}{rr} P_{\text{A}}-\cancel{T_{\text{AB}}}&=m_{\text{A}}a\\ \cancel{T_{\text{AB}}}-\cancel{T_{\text{BC}}}&=m_{\text{B}}a\\ \cancel{T_{\text{BC}}}-P_{\text{C}}&=m_{\text{C}}a \end{array} \right.} {P_{\text{A}}-P_{\text{C}}=\left(m_{\text{A}}+m_{\text{B}}+m_{\text{C}}\right)a} \]
\[ a=\frac{P_{\text{A}}-P_{\text{C}}}{m_{\text{A}}+m_{\text{B}}+m_{\text{C}}} \tag{IV} \]
O módulo das forças peso dos corpos A e C são dadas por
\[ P_{\text{A}}=m_{\text{A}}g\ \ \ \ \ \ \ \ \text{e}\ \ \ \ \ \ \ \ P_{\text{C}}=m_{\text{C}}g \tag{V} \]
substituindo (V) em (IV) e os valores dados no problema
\[ a=\frac{m_{\text{A}}g-m_{\text{C}}g}{m_{\text{A}}+m_{\text{B}}+m_{\text{C}}}\\ a=\frac{5.10-3.10}{5+2+3}\\ a=\frac{50-30}{10}\\ a=\frac{20}{10} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a=2\;\text{m/s}^{2}} \]

Substituindo a massa do corpo A, a expressão para o peso de A dada em (V) e a aceleração, encontrada acima, na primeira expressão do sistema, a tensão na corda vale
\[ m_{\text{A}}g-T_{\text{AB}}=m_{\text{A}}a\\ 5.10-T_{\text{AB}}=5.2\\ 50-T_{\text{AB}}=10\\ T_{\text{AB}}=50-10 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{\text{AB}}=40\ \text{N}} \]

Substituindo a massa do corpo C, a expressão para o peso de C dada em (V) e a aceleração, encontrada acima, na terceira expressão do sistema, a tensão na corda vale
\[ T_{\text{BC}}-m_{\text{C}}g=m_{\text{C}}a\\ T_{\text{BC}}-3.10=3.2\\ T_{\text{BC}}-30=6\\ T_{\text{BC}}=6+30 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{\text{AB}}=36\ \text{N}} \]

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