Exercício Resolvido de Dinâmica

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Numa máquina de Atwood os dois corpos, apoiados sobre uma superfície horizontal, estão ligados por um corda, de massa desprezível e inextensível, que passa através de uma polia, sem inércia e sem atrito. Dadas as massa \( m_{\text{A}}=24\;\text{kg} \) e \( m_{\text{B}}=40\;\text{kg} \) e a aceleração da gravidade \( g=10\;\text{m/s}^{2} \). Determinar as acelerações dos corpos quando:
a) \( F=400\;\text{N} \);
b) \( F=720\;\text{N} \);
c) \( F=1200\;\text{N} \).
Máquina de Atwood submetida a uma força F com massas de mA=24 kg e mB=40 kg.
Dados do problema Esquema do problema

Adotamos um sistema de referência orientado positivamente no mesmo sentido da força \( \vec F \).
A força aplicada numa polia se divide igualmente entre os dois lados (figura 1-A), assim a força de cada lado da polia será \( \frac{\vec F}{2} \).

figura 1

Solução

Como o corda é ideal (de massa desprezível e inextensível) ela apenas transmite a força na polia para os corpos, assim o componente da força \( \vec F \) sobre cada corpo também será \( \frac{\vec F}{2} \) (figura 1-B).
Isolando os corpos e pesquisando as forças que atuam em cada um deles, temos
Corpo A
  • \( \frac{\vec{F}}{2} \): força transmitida da polia;
  • \( \vec{P}_{\text{A}} \): força peso do corpo A.
O módulo da força peso do corpo A é dado por
Bloco A submetido a força de tração F/2 e a força peso PA.
figura 2
\[ P_{\text{A}}=m_{\text{A}}g \tag{I} \]
Corpo B
  • \( \frac{\vec{F}}{2} \): força transmitida da polia;
  • \( \vec{P}_{\text{B}} \): força peso do corpo B.
O módulo da força peso do corpo B é dado por
Bloco B submetido a força de tração F/2 e a força peso PB.
figura 3
\[ P_{\text{B}}=m_{\text{B}}g \tag{II} \]
Aplicando a 2.ª Lei de Newton

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \]

temos, em módulo, para o corpo A
\[ \frac{F}{2}-P_{\text{A}}=m_{\text{A}}a_{\text{A}} \tag{III} \]
substituindo a expressão (I) em (III)
\[ \frac{F}{2}-m_{\text{A}}g=m_{\text{A}}a_{\text{A}} \tag{IV} \]
Analogamente temos em módulo para o corpo B
\[ \frac{F}{2}-P_{\text{B}}=m_{\text{B}}a_{\text{B}} \tag{V} \]
substituindo a expressão (II) em (V)
\[ \frac{F}{2}-m_{\text{B}}g=m_{\text{B}}a_{\text{B}} \tag{VI} \]

a) Para \( F=400\;\text{N} \), a aceleração do corpo A será pela expressão (IV)
\[ \frac{400}{2}-24.10=24a_{\text{A}}\\ 200-240=24a_{\text{A}}\\ 24a_{\text{A}}=-40\\ a_{\text{A}}=-{\frac{40}{24}}\\ a_{\text{A}}=-1,7\ \text{m}/s^{2} \]
Para o corpo B temos pela expressão (VI)
\[ \frac{400}{2}-40.10=40a_{\text{B}}\\ 200-400=40a_{\text{B}}\\ 40a_{\text{B}}=-200\\ a_{\text{B}}=-{\frac{200}{40}}\\ a_{\text{B}}=-5\ \text{m}/s^{2} \]
Como as acelerações são negativas os corpos devem se mover contra a orientação do referencial (para baixo), mas como estão sobre uma superfície eles permanecem em repouso e suas acelerações são nulas

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\text{A}}=a_{\text{B}}=0} \]
Blocos em repouso sobre a superfície, com acelerações nulas (aA=aB=0), a força F não é suficente para levantar o sistema.
figura 4

b) Para \( F=720\;\text{N} \), a aceleração do corpo A será pela expressão (IV)
\[ \frac{720}{2}-24.10=24a_{\text{A}}\\ 360-240=24a_{\text{A}}\\ 24a_{\text{A}}=120\\ a_{\text{A}}=\frac{120}{24}\\ a_{\text{A}}=\;5\ \text{m}/s^{2} \]
Para o corpo B temos pela expressão (VI)
\[ \frac{720}{2}-40.10=40a_{\text{B}}\\ 360-400=40a_{\text{B}}\\ 40a_{\text{B}}=-40\\ a_{\text{B}}=-{\frac{40}{40}}\\ a_{\text{B}}=-1\ \text{m}/s^{2} \]
O corpo A tem aceleração

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\text{A}}=5\ \text{m}/s^{2}} \]

Como a aceleração do corpo B é negativa este deve se mover contra a orientação do referencial (para baixo), mas como está sobre uma superfície ele permanece em repouso e sua aceleração será nula

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\text{B}}=0} \]
A polia subindo sob a ação da força F puxando o bloco A com aceleração aA=5 m/s^2, enquanto o bloco B permanece em repouso na superfície
figura 5
 
c) Para \( F=1200\;\text{N} \), a aceleração do corpo A será pela expressão (IV)
\[ \frac{1200}{2}-24.10=24a_{\text{A}}\\ 600-240=24a_{\text{A}}\\ 24a_{\text{A}}=360\\ a_{\text{A}}=\frac{360}{24}\\ a_{\text{A}}=\;15\ \text{m}/s^{2} \]
Para o corpo B temos pela expressão (VI)
\[ \frac{1200}{2}-40.10=40a_{\text{B}}\\ 600-400=40a_{\text{B}}\\ 40a_{\text{B}}=200\\ a_{\text{B}}=\frac{200}{40}\\ a_{\text{B}}=5\ \text{m}/s^{2} \]
O corpo A tem aceleração

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\text{A}}=15\ \text{m}/s^{2}} \]

E o corpo B tem aceleração

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\text{B}}=5\ \text{m}/s^{2}} \]
Máquina de Atwood subindo sob a ação da força F com o bloco A subindo com aceleração aA=15 m/s^2 d o bloco B subindo com aceleração aB=5 m/s^2.
figura 6
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