Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um trem-bala percorre uma curva de 2500 m de raio a uma velocidade de 270 km/h. Calcule:
a) A força centrífuga sentida por um passageiro, de massa igual a 70 kg, num vagão desse trem;
b) Qual deveria ser a velocidade de um carro, percorrendo uma curva com 10 m de raio, para que aquele passageiro do trem sentisse a mesma força centrífuga estando no carro? Dê a resposta em km/h.


Dados do problema:
  • Raio da curva do trem:    rT = 2500 m;
  • Velocidade do trem:    vT = 270 km/h;
  • Massa do passageiro:    m = 70 kg;
  • Raio da curva do carro:    rC = 10 m.
Esquema do problema:

Quando o trem faz a curva, atua no trem e nos corpos em seu interior (passageiros e cargas) a aceleração centrípeta, responsável por fazer os corpos percorrerem a curva. No sistema de referência fixo no trem os corpos sentem a força centrífuga que equilibra a força centrípeta (Figura 1).

Figura 1

Observação: a força centrípeta só altera a direção do movimento e não a sua velocidade tangencial. O trem continua na mesma velocidade de 270 km/h.

Solução

Em primeiro lugar devemos converter a velocidade do trem dada em quilômetros por hora (km/h) para metros por segundo (m/s) usados no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)
\[ \begin{gather} v_{\small T}=270\;\frac{\mathrm{\cancel{km}}}{\mathrm{\cancel{h}}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{h}}}{3600\;\mathrm s}=\frac{270}{3,6}\;\frac{\mathrm m}{\mathrm s}=75\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]
a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton para movimento curvo
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{cp}=m {\vec a}_{cp}} \tag{I} \end{gather} \]
a aceleração centrípeta é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^2}{r}} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a equação (II) na equação (I)
\[ \begin{gather} F_{cp}=m \frac{v^2}{r} \tag{III} \end{gather} \]
Aplicando a equação (III) ao passageiro do trem
\[ \begin{gather} F_{cp}=m\frac{v_{\small T}^{2}}{r_{\small T}}\\[5pt] F_{cp}=70\times\frac{75^2}{2500}\\[5pt] F_{cp}=157,5\ \mathrm N \end{gather} \]
como a força centrípeta e a força centrífuga devem ser iguais em módulo
\[ \begin{gather} F_{cp}=F_{cg} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{cg}=157,5\;\mathrm N} \end{gather} \]

b) Se o passageiro do trem estiver em um carro a força centrípeta (e a força centrífuga) que atuará nele será, aplicando a equação (III)
\[ \begin{gather} F_{cp}=F_{cg}=m\frac{v_{\small C}^2}{r_{\small C}}\\[5pt] v_{\small C}=\sqrt{{\frac{ F_{cg}r_{\small C} }{m}}\;}\\[5pt] v_{\small C}=\sqrt{\frac{157,5\times 10}{70}}\\[5pt] v_{\small C}=4,7\; \mathrm{m/s} \end{gather} \]
Figura 2

Convertendo a resposta para km/h
\[ \begin{gather} v_{\small C}=4,7\;\mathrm{\frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}\times\frac{1\;\mathrm{km}}{1000\;\mathrm{\cancel{m}}}\times\frac{3600\;\mathrm{\cancel{s}}}{1\;\mathrm h}=16,9\; \mathrm{km/h} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{\small C}\;\approx \;17\; \mathrm{km/h}} \end{gather} \]
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