Exercício Resolvido de Cinemática Escalar


Um motociclista está em movimento retrógrado, sua velocidade inicial, em módulo, vale 25 m/s e no instante inicial sua posição é de − 150 m, a motocicleta está submetida a uma desaceleração, em módulo, de 2 m/s2. Determinar:
a) A função horária que rege o movimento deste motociclista;
b) A função horária da velocidade;
c) O instante em que ele passa pela origem;
d) O instante em que sua velocidade é nula.


Dados do problema Esquema do problema

Adota-se uma trajetória com sentido positivo orientado para a direita.

Motociclista em  movimento retrógrado com posição inicial - 150 m, velocidade - 25 m/s e aceleração 2 m/s^2 .
figura 1

Solução

a) Para a função horária do espaço percorrido queremos encontrar uma função do tipo
\[ S\;=\;S_{0}+v_{0}t+\frac{a}{2}\;t^{\;2} \]
o espaço inicial já e dado no problema, \( \ S_{\;0}\;=\;-150\;\text{m} \) , como o motociclista está em movimento retrógrado seu movimento se dá contra a orientação da trajetória sendo sua velocidade negativa ( \( \ v\;<\;0 \ \) ), assim temos que \( \ v\;=\;-25\;\text{m/s} \) , o motociclista está desacelerando, sua aceleração está contra a orientação da velocidade ( \( \ a\;>\;0 \ \) ), assim \( \ a\;=\;2\;\text{m/s}^{\;2} \) . Portanto a função procurada será
\[ S\;=\;-150-40t+\frac{2}{2}\;t^{\;2} \]
\[ S\;=\;-150-40t+t^{\;2} \]


b) Para a função horária da velocidade queremos encontrar uma função do tipo
\[ v\;=\;v_{0}+at \]
dos dados do problema temos imediatamente que

\[ v\;=\;-40t+2t \]


c) Quando o motociclista passa pela origem temos \( \ S\;=\;0 \) , substituindo este valor na expressão encontrada no item (a), temos
\[ 0\;=\;-150-40\;t+t^{\;2} \]
Esta é uma Equação de 2.° Grau onde a incógnita é o valor desejado do tempo.

solução da Equação de 2.° Grau    \( t^{\;2}-40\;t-150\;=\;0 \)
\[ \Delta \;=\;b^{\;{}2}-4ac\;=\;(\;-25\;)^{\;{}2}-4.1.(\;-150\;)\;=\;625+600\;=\;1225\\ {}\\ t\;=\;\frac{-b\pm \sqrt{\;\Delta \;}}{2a}\;=\;\frac{-(\;-25\;)\pm \sqrt{\;1225\;}}{2.1}\;=\;\frac{25\pm 35}{2} \]
as duas raízes da equação serão

\( t_{\;1}\;=\;30\;\text{s} \)       e       \( t_{\;2}\;=\;-5\;\text{s} \)

Como não existe tempo negativo desprezamos a segunda raiz, ele passará pela origem em t = 30 s (ele começa o movimento a esquerda da origem, sua velocidade vai diminuindo devido a desaceleraão até ficar igual a zero, então muda de sentido e começa a se mover no sentido do referencial até passar pela origem).


d) Quando a velocidade da moto se anula temos \( \ v\;=\;0 \) , substituindo este valor na expressão encontrada no item (b), temos
\[ 0\;=\;-150+2t \]
Esta é uma Equaão de 1.° Grau onde a incógnita é o valor desejado do tempo
\[ 2t\;=\;150\\ t\;=\;\frac{150}{2} \]
\[ t\;=\;75\;\text{s} \]

Este é o instante que o motociclista muda de sentido e começa a se mover no sentido do referencial até passar pela origem.


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