Exercício Resolvido de Cinemática Escalar


Uma pedra é jogada, com velocidade inicial de 15 m/s, do alto de um penhasco de 20 m de altura, simultaneamente uma outra pedra é lanada verticalmente de baixo para cima também com velocidade de 15 m/s, adotando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, pergunta-se:
a) Depois de quanto tempo e a que altura as pedras se cruzam?
b) A pedra lançada de baixo atinge o alto do penhasco?


Esquema do problema



Adotamos um sistema de referência orientado de baixo para cima com origem na parte mais baixa de onde é lanada a pedra para cima. A aceleração da gravidade e a velocidade da pedra jogada de cima do penhasco estão orientadas no sentido contrário da trajetória e são, portanto, negativas ( \( \ v_{\;01}<\;0 \ \) , \( \ g<\;0 \ \) ), como a pedra é lanada do alto do penhasco sua posião inicial será \( \ S_{\;01}\;=\;20\;\text{m} \ \) . A pedra lanada de baixo tem sua velocidade no mesmo sentido da trajetória sendo positiva ( \( \ v_{\;02}>\;0 \ \) ), como ela esta na origem sua posição inicial será \( \ S_{\;02}\;=\;0 \ \) (figura 1).
Penhasco de 20 m de altura de onde se solta uma pedra é jogada com velocidade inicial de 15 m/s e outra é lançada para cima com a mesma velocidade em módulo
figura 1
Dados do problema Solução

a) A equação horária da primeira pedra será
\[ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S_{\;1}\;=\;S_{\;01}+v_{\;01}t-\frac{g}{2}\;t^{\;2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S_{\;1}\;=\;20-15t-\frac{10}{2}\;t^{\;2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S_{\;1}\;=\;20-15t-5t^{\;2} \]





(I)

Para a equação horária da segunda pedra temos
\[ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S_{\;2}\;=\;S_{\;02}+v_{\;02}t-\frac{g}{2}\;t^{\;2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S_{\;2}\;=\;0+15t-\frac{10}{2}\;t^{\;2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S_{\;2}\;=\;15t-5t^{\;2} \]




(II)
Quando as pedras se encontram temos a condição de que suas posições são iguais, igualando as expressões (I) e (II), obtemos
\[ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S_{\;1}\;=\;S_{\;2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 20-15t-5t^{\;2}\;=\;15t-5t^{\;2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 20\;=\;15t+5t^{\;2}+15t-5t^{\;2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ 30t\;=\;20\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t\;=\;\frac{20}{30}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t\;=\;\frac{2}{3} \]







(III)
 
\[ t\;\simeq \;0,67\;\text{s} \]


Para encontrarmos o ponto de encontro das pedras vamos substituir o intervalo de tempo encontrado, na forma da expressão (III), em (II)
\[ S_{\;2}\;=\;15.\frac{2}{3}-5.\;\left(\;\frac{2}{3}\;\right)^{\;2}\\ S_{\;2}\;=\;5.2-5.\frac{4}{9}\\ S_{\;2}\;=\;10-\frac{20}{9} \]
multiplicando e dividindo por 9 o primeiro termo do lado direito da igualdade, temos
\[ S_{\;2}\;=\;10.\frac{9}{9}-\frac{20}{9}\\ S_{\;2}\;=\;\frac{90}{9}-\frac{20}{9}\\ S_{\;2}\;=\;\frac{70}{9} \]
\[ S_{\;2}\;\simeq \;7,8\;\text{m} \]

Observação: se substituíssemos o intervalo de tempo na expressão (I) obteríamos o mesmo resultado, já que é o ponto da trajetória onde as pedras se cruzam.


b) Quando a pedra lançada de baixo atinge sua altura máxima ( \( \ h_{\;\text{máx}} \ \) ) ela para por um instante e sua velocidade se anula ( \( \ v_{\;2}\;=\;0 \ \) ) antes de começar a cair (figura 2). Usando a Equação de Torricelli, temos
\[ v_{\;2}^{\;2}\;=\;v_{\;02}^{\;2}-2g\Delta S \]
onde \( \ \Delta S\;=\;h_{\;\text{máx}} \ \)
\[ 0^{\;2}\;=\;15^{\;2}-2.10h_{\;\text{máx}}\\ 0\;=\;225-20h_{\;\text{máx}}\\ 20h_{\;\text{máx}}\;=\;225\\ h_{\;\text{máx}}\;=\;\frac{225}{20}\\ h_{\;\text{máx}}\;=\;11,25\;\text{m} \]
A pedra lançada de baixo não atinge o alto do penhasco.
Altura máxima atingida pela pedra lançada de baixo do penhasco.
figura 2
 
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