Exercício Resolvido de Cinemática Escalar


O movimento de um móvel é descrito pelo gráfico da velocidade em função do tempo mostrado ao lado. Pede-se:
a) A aceleração do móvel;
b) Escrever a equação horária da velocidade;
c) Qual o espaço percorrido entre 3 s e 7 s.
Gráfico da velocidade em função do tempo passando pelos pontos (x1, y1)=(0, 14) e(x2, y2)=(6, 2)



Solução

a) Tomando-se dois pontos do gráfico, \( \ \left(\;x_{\;1},y_{\;1}\;\right)\;=\;\left(\;6,2\;\right) \) e \( \ \left(\;x_{\;2},y_{\;2}\;\right)\;=\;\left(\;0,14\;\right) \ \) a aceleração do móvel, num gráfico da velocidade em função do tempo ( \( \ v\;\times \;t \ \) ), será dada pela tangente da reta (figura 1)
\[ a\;=\;\text{tg}\alpha \;=\;-\text{tg}\beta\;=\;\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}\;=\;\frac{v_{\;2}-v_{\;1}}{t_{\;2}-t_{\;1}}\\ a\;=\;\frac{14-2}{0-6}\\ a\;=\;\frac{12}{-6} \]
\[ a\;=\;-2\;\text{m/s}^{\;2} \]
Gráfico da velocidade em função do tempo mostrando o ângulo alfa de inclinação da reta e seu suplementar beta.
figura 1



b) A reta representa o gráfico de uma Equação de 1.º Grau do tipo \( \ y\;=\;ax+b \ \) , comparando com a equação horária do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) podemos fazer as seguintes associações


o coeficiente a foi obtido no item anterior e corresponde a aceleração \( \ a\;=\;-2\;\text{m/s}^{\;2} \ \) , e o valor de b corresponde a velocidade inicial do móvel que é lida no gráfico onde a reta corta o eixo das ordenadas como sendo \( \ v_{\;0}\;=\;14\;\text{m} \ \) , assim a equação horária da velocidade fica

\[ v\;=\;14-2t \]


c) Em primeiro lugar devemos determinar as velocidade do móvel nos instantes 3 e 7 segundos usando a expressão para a velocidade obtida no item anterior
\[ v(3)\;=\;14-2.3\\ v(3)\;=\;14-6\\ v(3)\;=\;8\;\text{m/s} \]
\[ v(7)\;=\;14-2.7\\ v(7)\;=\;14-14\\ v(7)\;=\;0 \]
Num gráfico da velocidade em função do tempo ( \( \ v\;\times \;t \ \) ), o espaço percorrido é numericamente igual a área sob a curva (figura 2), a área de um triângulo é dada por
\[ A\;=\;\frac{Bh}{2} \]
então o espaço percorrido será de
\[ \Delta S\;\overset{\text{N}}{=}\;A\;=\;\frac{(\;7-3\;).8}{2}\\ \Delta S\;=\;4.4 \]
\[ \Delta S\;=\;16\;\text{m} \]
Gráfico da velocidade em função do tempo, com área entre as abscissas 3 e 7 e as ordenadas 0 e 8.
figura 2

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