Exercício Resolvido de Cinemática Escalar

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Na Lua abandona-se uma pedra de uma altura de 20 metros a partir do repouso, ela cai sob a ação da aceleração da gravidade lunar até atingir o solo com uma velocidade v. Determine de que altura a pedra deve ser abandonada na Terra para que ela atinja o solo com a mesma velocidade v. Aceleração da gravidade na Terra \( g_{\text{T}}=9,8\;\text{m/s}^{2} \), aceleração da gravidade na Lua \( g_{\text{L}}=1,6\;\text{m/s}^{2} \).

Dados do problema Esquema do problema

Adotamos um sistema de referência orientado para cima com origem no solo, nos dois casos, como as acelerações da gravidade apontam para o solo seus sinais serão negativos.

Objeto em queda livre na Lua de uma altura de 20 metros a partir do repouso sob ação da gravidade lunar de 1,6 metros por segundo por segundo, e objeto em queda livre na Terra de uma altura a ser determinada a partir do repouso sob a ação da aceleração da gravidade terrestre de 9,8 metros por segundo por segundo.
figura 1

Para a Lua temos a posição inicial da pedra \( S_{\text{0L}}=20\;\text{m} \) e a posição final \( S_{\text{L}}=0 \), para a Terra a posição inicial será \( S_{\text{0T}}=H_{\text{T}} \) e a posição final \( S_{\text{T}}=0 \).
Solução

Para encontrar a velocidade final com que a pedra atinge o solo, como não temos o intervalo de tempo de queda, usamos a Equação de Torricceli
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta S} \]
Para a Lua temos
\[ v_{\text{L}}^{2}=v_{\text{0}}^{2}+2g_{\text{L}}\Delta S_{\text{L}}\\ v_{\text{L}}^{2}=v_{\text{0}}^{2}+2g_{\text{L}}(\;S_{\text{L}}-S_{\text{0L}}\;)\\ v_{\text{L}}^{2}=0-2.1,6(\;0-20\;)\\ v_{\text{L}}^{2}=64\\ v_{\text{L}}=\sqrt{\;64\;}\\ v_{\text{L}}=8\;\text{m/s} \]
Queremos que a velocidade com que a pedra atinja o solo na Terra seja a mesma velocidade da Lua (\( v=v_{\text{L}}=v_{\text{T}} \)).
Aplicando novamente a Equação de Torricceli para a Terra, temos
\[ v_{\text{T}}^{2}=v_{\text{0}}^{2}+2g_{\text{T}}\Delta S_{\text{T}}\\ v_{\text{T}}^{2}=v_{\text{0}}^{2}+2g_{\text{T}}(\;S_{\text{T}}-S_{\text{0T}}\;)\\ (\;8\;)^{2}=0-2.9,8(\;0-H_{\text{T}}\;)\\ 64=19,6H_{\text{T}}\\ H_{\text{T}}=\frac{64}{19,6} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {H_{\text{T}}=3,3\;\text{m}} \]

Observação: no cálculo da velocidade final na Lua extraímos a raiz fazendo
\[ v_{\text{L}}^{2}=64\Rightarrow v_{\text{L}}=\sqrt{\;64\;}\Rightarrow v_{\text{L}}=8\;\text{m/s} \]
no entanto poderíamos ter deixado na forma \( v_{\text{L}}^{2}=64 \), como queremos \( v_{\text{T}}=v_{\text{L}} \) temos \( v_{\text{T}}^{2}=v_{\text{L}}^{2} \), e substituir esse valor na expressão para o cálculo na Terra
\[ v_{\text{T}}^{2}=v_{\text{L}}^{2}=64=0-2.9,8(\;0-H_{\text{T}}\;)\Rightarrow 64=19,6H_{\text{T}} \]
isto eliminaria uma passagem a mais em cada cálculo.
 

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