Exercício Resolvido de Cinemática Escalar


Um foguete é lanado verticalmente, a partir do solo, com velocidade inicial de 200 m/s, após 10 segundos ele explode. Um observador no solo localizado a uma distância de 2000 metros, na mesma horizontal do ponto de lançamento, ouvirá o barulho da explosão depois de quanto tempo? Adote a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e a velocidade do som no ar igual a 340 m/s.


Dados do problema Esquema do problema

O foguete sobe até uma altura h onde explode, o som da explosão viaja pelo ar durante um intervalo de tempo \( \ t_{\;\text{s}} \ \) até chegar num observador no solo (figura 1).


figura 1

Solução

Primeiramente devemos encontrar a altura atingida pelo foguete. Vamos adotar um sistema de referência com origem no solo e orientado para cima (figura 2).
A altura h da explosão será dada por
\[ S\;=\;S_{\;0}+v_{\;0}t-\frac{g}{2}\;t^{\;2} \]
onde a aceleração da gravidade tem sinal negativo por ter o sentido oposto ao sentido do referencial, sendo \( \ S\;=\;h \ \) e \( \ S_{0}\;=\;0 \) , temos

figura 2
  \[ h\;=\;0+200.10-\frac{10}{2}.10^{\;2}\\ h\;=\;2000-5.100\\ h\;=\;2000-500\\ h\;=\;1500\;\text{m} \]
A distância H do ponto da explosão ao observador será dada pelo Teorema de Pitágoras (figura 3)
\[ H^{\;2}\;=\;1500^{\;2}+2000^{\;2}\\ H^{\;2}\;=\;2250000+4000000\\ H^{\;2}\;=\;6250000\\ H\;=\;\sqrt{\;6250000\;}\\ H\;=\;2500\;\text{m} \]

figura 3
 
Observação: se verificarmos que, a altura atingida pelo foguete quando da explosão e a distância do ponto de lanamento ao observador representam os lados de um triângulo retângulo, onde valem as seguintes proporções \( \frac{1500}{3}\;=\;500 \) e \( \frac{2000}{4}\;=\;500 \) , então este será um triângulo Pitagórico 3,4 e 5. Assim para encontrar o valor da hipotenusa basta fazer \( 5.500\;=\;2500 \) (figura 4).

figura 4
 
A onda sonora não sofre ação da gravidade, portanto, ela se movimenta com velocidade uniforme. O sistema pode ser visto como um ponto da frente de onda em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.).
Adotamos um sistema de referência com origem no ponto onde ocorre a explosão orientado para a direita. O ponto se desloca com velocidade constante até onde está o observador (figura 5)


figura 5

Sendo \( \ S\;=\;2500\;\text{m}\ \) e \( \ S_{0}\;=\;0 \) , função horária do movimento será dado por
\[ S\;=\;S_{\;0}+v_{\;\text{S}}\;t_{\;\text{S}}\\ 2500\;=\;0+340\;t_{\;\text{S}}\\ t_{\;\text{S}}\;=\;\frac{2500}{340} \]
\[ t_{\;\text{S}}\;\simeq \;7,4\;\text{s} \]

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