Exercício Resolvido de Cinemática Escalar


Dois barcos partem de um mesmo ponto e se deslocam sobre a uma mesma reta com velocidades constantes 25 km/h e 35 km/h. A comunicação entre os dois barcos é possível, pelo rádio, enquanto a distância entre eles não ultrapassar 600 km. Determinar o tempo durante o qual os dois barcos podem se comunicar, admitindo que:
a) Os dois barcos movem-se no mesmo sentido;
b) O barco mais lento parte duas horas antes do outro e move-se no mesmo sentido;
c) Os dois barcos partem ao mesmo tempo e movem-se em sentidos opostos.


Dados do problema Esquema do problema

Adota-se um sistema de referência com o eixo positivo orientado para a direita (figura 1).


figura 1

Vamos considerar que o ponto de onde partem os barcos é a origem do referencial, assim \( \ S_{\;01}\;=\;S_{\;02}\;=\;0 \ \)

Solução

a) Os barcos movem-se com velocidades constantes, estão em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), escrevendo as equações desse movimento para os dois barcos, temos
\[ S_{\;1}\;=\;S_{\;01}+v_{\;1}t\\ S_{\;1}\;=\;0+25t\\ S_{\;1}\;=\;25t \]
e
\[ S_{\;2}\;=\;S_{\;02}+v_{\;2}t\\ S_{\;2}\;=\;0+35t\\ S_{\;2}\;=\;35t \]
(I)
 
O barco 2 de maior velocidade se afasta do barco 1 até que distância entre os dois seja maior que 600 km e a comunicação deixa de ser possível (figura 2).


figura 2

Calculando a diferença entre as duas expressões de (I), obtemos
\[ \frac{\begin{matrix}\ \ \ \ \;\;S_{\;2}\;=\;35t\ \ \ \ \ \ \\(\text{-})\ S_{\;1}\;=\;25t\ \ \ \ \ \;\end{matrix}}{S_{\;2}-S_{\;1}\;=\;35t-25t} \]
Sendo \( \ \Delta S\;=\;S_{\;2}-S_{\;1}\;=\;600\text{km} \ \) , temos
\[ \Delta S\;=\;10t\\ 10t\;=\;600\\ t\;=\;\frac{600}{10} \]
\[ t\;=\;60\;\text{h} \]


b) O barco 1 parte da origem ( \( \ S_{\;01}\;=\;0 \) ) e navega durante 2 h até atingir uma posição \( \ S_{\;1} \) na trajetória (figura 3).


figura 3

Escrevendo a equação de movimento para esta primeira parte do movimento, obtemos
\[ S_{\;1}\;=\;S_{\;01}+v_{\;1}t\\ S_{\;1}\;=\;0+25t\\ S_{\;1}\;=\;25t \]
depois de duas horas ( \( \ t\;=\;2\;\text{h} \) ) o barco estará na posição
\[ S_{\;1}\;=\;25.2\\ S_{\;1}\;=\;50\;\text{km} \]
Neste instante o barco 2 parte da origem ( \( \ S_{\;02}\;=\;0 \) ) e a posição do barco 1 encontrada acima passa a ser a posição inicial para a segunda parte do movimento ( \( \ S_{\;01}\;=\;50\;\text{km} \) - figura 4)


figura 4

O barco 2 ultrapassa o barco 1 e se afasta até a comunicação entre eles ser impossível, assim as equações de movimento dos barcos serão
\[ S_{\;1}\;=\;S_{\;01}+v_{\;1}t\\ S_{\;1}\;=\;50+25t \]
e
\[ S_{\;2}\;=\;S_{\;02}+v_{\;2}t\\ S_{\;2}\;=\;0+35t\\ S_{\;2}\;=\;35t \]
(II)
 
Calculando a diferença entre as duas expressões de (II), obtemos
\[ \frac{\begin{matrix}\ \ \ \;\;\;S_{\;2}\;=\;35t\ \ \ \ \ \ \\(\text{-})\ S_{\;1}\;=\;50+25t\ \ \ \ \ \;\end{matrix}}{S_{\;2}-S_{\;1}\;=\;35t-50-25t}\\\Delta S\;=\;35t-50-25t\\10t\;=\;600+50\\t\;=\;\frac{650}{10} \]
\[ t\;=\;65\;\text{h} \]


c) Vamos adotar que o barco 1 parte no sentido contrário à orientação da trajetória, assim sua velocidade será negativa ( \( \ v_{\;1}\;=\;-25\;\text{km/h} \ \) - figura 5).


figura 5

As equações desse movimento para os dois barcos serão
\[ S_{\;1}\;=\;S_{\;01}+v_{\;1}t\\ S_{\;1}\;=\;0-25t\\ S_{\;1}\;=\;-25t \]
e
\[ S_{\;2}\;=\;S_{\;02}+v_{\;2}t\\ S_{\;2}\;=\;0+35t\\ S_{\;2}\;=\;35t \]
(III)
 
Calculando a diferena entre as duas expressões de (III), obtemos
\[ \frac{\begin{matrix}\ \ \ \ \;\;S_{\;2}\;=\;35t\ \ \ \ \ \ \ \ \\(\text{-})\ S_{\;1}\;=\;-25t\ \ \ \ \ \;\end{matrix}}{S_{\;2}-S_{\;1}\;=\;35t+25t} \]
\[ \Delta S\;=\;60t\\ 60t\;=\;600\\ t\;=\;\frac{600}{60} \]
\[ t\;=\;10\;\text{h} \]

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