Exercício Resolvido de Cinemática Escalar


Um móvel parte com velocidade inicial de \( \ 1\;\text{m/s} \ \) em movimento retilíneo, é dado o gráfico da aceleração em função do tempo a partir do início do movimento

Gráfico da aceleração em função do tempo.

Determinar:
a) A velocidade em \( \ t\;=\;8\;\text{s} \) ;
b) A velocidade em \( \ t\;=\;12\;\text{s} \) ;
c) A velocidade em \( \ t\;=\;14\;\text{s} \) ;
d) Entre que intervalo de tempo a velocidade diminui.


Dado do problema Solução

a) Num gráfico da aceleração em função do tempo, \( \ a\;=\;f(t) \ \) , a variação da velocidade é igual a área sob a curva.

Gráfico da aceleração em função do tempo destacando a área entre 0 e 8 segundos.
figura 1

Podemos dividir o gráfico nas seguintes áreas (figura 1):
\[ A_{\;1}\;=\;\frac{(\;B+b\;)h}{2}\\ A_{\;1}\;=\;\frac{[\;6+(\;6-2\;)\;].2}{2}\\ A_{\;1}\;=\;\frac{[\;6+4\;].2}{2}\\ A_{\;1}\;=\;\frac{10.2}{2}\\ A_{\;1}\;=\;10 \]
\[ A_{\;2}\;=\;\frac{(\;B+b\;)h}{2}\\ A_{\;2}\;=\;\frac{(\;4+2\;).(\;8-6\;)}{2}\\ A_{\;2}\;=\;\frac{6.2}{2}\\ A_{\;2}\;=\;6 \]
A variação da velocidade será a área total dada pela soma das áreas encontradas
\[ \Delta v\;=\;A_{\;1}+A_{\;2}\\ \Delta v\;=\;10+6\\ \Delta v\;=\;16\;\text{m/s} \]
Da definição de variação da velocidade temos
\[ \Delta v\;=\;|\;v_{\;\text{f}}-v_{\;\text{i}}\;| \]
(I)
 
usando a variação da velocidade encontrada acima e a velocidade inicial dada no problema ( \( \ v_{\;\text{i}}\;=\;v_{\;0}\;=\;1\;\text{m/s} \) ), a velocidade em \( \ t\;=\;8\;\text{s} \ \) será
\[ 16\;=\;|\;v_{\;8}-1\;|\\ 16\;=\;v_{\;8}-1\\ v_{\;8}\;=\;16+1 \]
\[ v_{\;\text{8}}\;=\;17\;\text{m/s} \]


b) Para encontrar a velocidade em \( \ t\;=\;12\;\text{s} \ \) devemos encontrar a variação da velocidade entre \( \ t\;=\;8\;\text{s} \ \) e \( \ t\;=\;12\;\text{s} \ \) (figura 2).

Gráfico da aceleração em função do tempo destacando a área entre 8 e 12 segundos.
figura 2
\[ A_{\;3}\;=\;\frac{Bh}{2}\\ A_{\;3}\;=\;\frac{(\;12-8\;).4}{2}\\ A_{\;3}\;=\;\frac{4.4}{2}\\ A_{\;3}\;=\;8 \]
Sendo esta área igual a variação da velocidade ( \( \ \Delta v \ \) ) e a velocidade encontrada no item (a) como sendo a velocidade inicial desta parte do movimento ( \( \ v_{\;\text{i}}\;=\;v_{\;8}\;=\;17\;\text{m/s} \) ), a expressão (I) nos fornece
\[ 8\;=\;|\;v_{\;12}-17\;|\\ 8\;=\;v_{\;12}-17\\ v_{\;12}\;=\;8+17 \]
\[ v_{\;12}\;=\;25\;\text{m/s} \]


c) Entre 12 s e 14 s a aceleração é nula ( \( \ a\;=\;0 \ \) ), portanto não há mudança na velocidade do móvel, sua velocidade permanece constante.

d) A velocidade não diminui em nenhum intervalo de tempo .

Observação: entre os instantes 8 s e 12 s o gráfico apresenta uma reta em que a aceleração diminui com o tempo. Mas isto não significa que a velocidade diminua, a reta está acima do eixo das abscissas (eixo do tempo) assim a aceleração tem valor positivo ( \( \ a\;>\;0 \ \) ) e a velocidade aumenta numa taxa menor. Para que a a velocidade diminuísse seria necessário que a reta estivesse abaixo do eixo das abscissas, a aceleração teria valor negativo ( \( \ a\;<\;0 \ \) ) e o móvel estaria sendo freado.

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