Exercício Resolvido de Cinemática Escalar


Sendo o movimento de um corpo dado pelo gráfico da velocidade em funlão do tempo, \( \ v\;=\;f(t) \) :

Gráfico da velocidade em função do tempo.

Determinar:

a) O espalo percorrido entre 1 s e 9 s;
b) A velocidade média entre 1 s e 9 s;
c) A aceleração média entre 1 s e 9 s.

Solução

a) Num gráfico da velocidade em função do tempo, \( \ v\;=\;f(t) \) , o espalo percorrido é igual a área sob a curva. O eixo das abscissas (eixo do tempo) está dividido em unidade de 1 s, o eixo das ordenadas (eixo da velocidade) está dividido em unidades de \( \ 1\;\text{m/s} \) . A área de um quadrado é a multiplicaão dos lados, assim
\[ 1\;\text{s}.1\;\frac{\text{m}}{\text{s}}\;=\;1\;\text{m} \]
um quadrado do gráfico representa 1 m de deslocamento do móvel.




Entre os instantes 4 s e 9 s, temos por contagem direta, 15 quadrados que representam 15 m de deslocamento (figura 1)
\[ A_{\;1}\;=\;15\;\text{m} \]
Gráfico da velocidade em função do tempo destacando os quadrados inteiros que podem ser contados diretamente
figura 1

Da figura 2 vemos que entre 1 s e 2 s temos meio quadrado o que representa 0,5 m de deslocamento
\[ A_{\;2}\;=\;0,5\;\text{m} \]
Entre 3 s e 4 s as áreas entre as velocidades 0 e \( \ 1\;\text{m/s} \ \) e entre \( \ 2\;\text{m/s} \ \) e \( \ 3\;\text{m/s} \ \) se completam de modo a formar um quadrado e o deslocamento será de 1 m
\[ A_{\;3}\;=\;1\;\text{m} \]
entre as velocidades de \( \ 1\;\text{m/s} \ \) e \( \ 2\;\text{m/s} \ \) temos meio quadrado o que representa 0,5 m de deslocamento
\[ A_{\;4}\;=\;0,5\;\text{m} \]
Gráfico da velocidade em função do tempo destacando os quadrados incompletos.
figura 2
Entre 4 s e 6 s as áreas completam de modo a formar um quadrado e o deslocamento será de 1 m
\[ A_{\;5}\;=\;1\;\text{m} \]
Entre 7 s e 9 s temos duas meias áreas que se completam de modo a formar um quadrado e o deslocamento será de 1 m
\[ A_{\;6}\;=\;1\;\text{m} \]
O espaço percorrido será a área total dada pela soma das áreas encontradas
\[ \Delta S\;=\;A_{\;1}+A_{\;2}+A_{\;3}+A_{\;4}+A_{\;5}+A_{\;6}\\ \Delta S\;=\;15+0,5+1+0,5+1+1 \]
\[ \Delta S\;=\;19\;\text{m} \]


b) A velocidade média é dada por
\[ v_{\;\text{m}}\;=\;\frac{\Delta S}{\Delta t} \]
usando o espaço percorrido encontrado no item (a), temos
\[ v_{\;\text{m}}\;=\;\frac{19}{9-1}\\ v_{\;\text{m}}\;=\;\frac{19}{8} \]
\[ v_{\;\text{m}}\;\simeq \;2,4\;\text{m/s} \]


c) A aceleração média é dada por
\[ a_{\;\text{m}}\;=\;\frac{\Delta v}{\Delta t} \]
do gráfico temos que para \( \ t_{\;1}\;=\;1\;\text{s} \ \) a velocidade vale \( \ v_{\;1}\;=\;1\;\text{m/s} \ \) e para \( \ t_{\;2}\;=\;9\;\text{s} \ \) a velocidade vale \( \ v_{\;2}\;=\;2\;\text{m/s} \ \)
\[ a_{\;\text{m}}\;=\;\frac{2-1}{9-1}\\ a_{\;\text{m}}\;=\;\frac{1}{8} \]
\[ a_{\;\text{m}}\;\simeq \;0,1\;\text{m/s}^{\;2} \]

Fechar