Exercício Resolvido de Cinemática Escalar


Sendo o movimento de um corpo dado pelo gráfico da velocidade em função do tempo, \( \ v\;=\;f(t) \) :

Gráfico da velocidade em função do tempo.

Determinar:

a) O espaço percorrido entre 1 s e 9 s;
b) A velocidade média entre 1 s e 9 s;
c) A aceleração média entre 1 s e 9 s.

Solução

a) Num gráfico da velocidade em função do tempo, \( \ v\;=\;f(t) \ \) , o espaço percorrido é igual a área sob a curva.

Gráfico da velocidade em função do tempo dividido em figuras geométricas para o cálculo da área total.
figura 1

Podemos dividir o gráfico nas seguintes áreas (figura 1):
\[ A_{\;1}\;=\;\frac{Bh}{2}\\ A_{\;1}\;=\;\frac{(\;2-1\;).1}{2}\\ A_{\;1}\;=\;\frac{1.1}{2}\\ A_{\;1}\;=\;\frac{1}{2}\\ A_{\;1}\;=\;0,5 \]
\[ A_{\;2}\;=\;\frac{Bh}{2}\\ A_{\;2}\;=\;\frac{(\;4-3\;).3}{2}\\ A_{\;2}\;=\;\frac{1.3}{2}\\ A_{\;2}\;=\;\frac{3}{2}\\ A_{\;2}\;=\;1,5 \]
\[ A_{\;3}\;=\;\frac{(\;B+b\;)h}{2}\\ A_{\;3}\;=\;\frac{(\;4+3\;).(\;6-4\;)}{2}\\ A_{\;3}\;=\;\frac{7.2}{2}\\ A_{\;3}\;=\;7 \]
\[ A_{\;4}\;=\;L_{1}L_{2}\\ A_{\;4}\;=\;4.(\;7-6\;)\\ A_{\;4}\;=\;4.1\\ A_{\;4}\;=\;4 \]
\[ A_{\;5}\;=\;\frac{(\;B+b\;)h}{2}\\ A_{\;5}\;=\;\frac{(\;4+2\;).(\;9-7\;)}{2}\\ A_{\;5}\;=\;\frac{6.2}{2}\\ A_{\;5}\;=\;6 \]
O espaço percorrido será a área total dada pela soma das áreas encontradas
\[ \Delta S\;=\;A_{\;1}+A_{\;2}+A_{\;3}+A_{\;4}+A_{\;5}\\ \Delta S\;=\;0,5+1,5+7+4+6 \]
\[ \Delta S\;=\;19\;\text{m} \]


b) A velocidade média é dada por
\[ v_{\;\text{m}}\;=\;\frac{\Delta S}{\Delta t} \]
usando o espaço percorrido encontrado no item (a), temos
\[ v_{\;\text{m}}\;=\;\frac{19}{9-1}\\ v_{\;\text{m}}\;=\;\frac{19}{8} \]
\[ v_{\;\text{m}}\;\simeq \;2,4\;\text{m/s} \]


c) A aceleração média é dada por
\[ a_{\;\text{m}}\;=\;\frac{\Delta v}{\Delta t} \]
do gráfico temos que para \( \ t_{\;1}\;=\;1\;\text{s} \ \) a velocidade vale \( \ v_{\;1}\;=\;1\;\text{m/s} \ \) e para \( \ t_{\;2}\;=\;9\;\text{s} \ \) a velocidade vale \( \ v_{\;2}\;=\;2\;\text{m/s} \ \)
\[ a_{\;\text{m}}\;=\;\frac{2-1}{9-1}\\ a_{\;\text{m}}\;=\;\frac{1}{8} \]
\[ a_{\;\text{m}}\;\simeq \;0,1\;\text{m/s}^{\;2} \]

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