Ejercicio Resuelto sobre Cantidad de Movimiento
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Un cañón de un barco pirata del siglo XVIII tenía una masa de 2000 libras y disparaba balas de 10 libras a una velocidad de 300 m/s. Si el cañón está en posición horizontal y la velocidad de la bala es constante dentro del cañón. Determina la velocidad de retroceso del cañón. Tomamos que 1 libra es igual a 450 gramos.
Datos del problema:
- Masa del cañón: M = 2000 lb;
- Masa de la bala: m = 10 lb;
- Velocidad de la bala: v = 300 m/s.
Primero, debemos convertir las masas del cañón y de la bala dadas en libras (lb) a kilogramos (kg), que se utilizan en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
\[
\begin{gather}
M=2000\;\mathrm{\cancel{lb}}\times\frac{450\;\mathrm{\cancel g}}{1\;\mathrm{\cancel{lb}}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}=900\;\mathrm{kg}\\[10pt]
m=10\;\mathrm{\cancel{lb}}\times\frac{450\;\mathrm{\cancel{g}}}{1\;\mathrm{\cancel{lb}}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}=4,5\;\mathrm{kg}
\end{gather}
\]
Al analizar las fuerzas, en la dirección vertical tenemos el peso,
\( \vec P \),
y la fuerza normal de reacción,
\( \vec N \),
que se equilibran. En la dirección horizontal, la fuerza que el cañón ejerce sobre la bala,
\( \vec F \),
tiene la misma magnitud que la fuerza que la bala ejerce sobre el cañón,
\( -{\vec F} \),
con la misma dirección y sentido opuesto (Figura 1). Por lo tanto, el sistema cañón/bala está aislado
de fuerzas externas y podemos aplicar el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento.
La cantidad de movimiento antes del disparo debe ser igual a la cantidad de movimiento después del disparo
\[
\begin{gather}
p_i=p_f \tag{I}
\end{gather}
\]
Inicialmente, el cañón y la bala están en reposo (Figura 2-A). Cuando el cañón es disparado, este actúa sobre la bala y le da una velocidad \( \vec v \) hacia adelante, la bala reacciona sobre el cañón y hace que retroceda con velocidad \( -{\vec V} \) (Figura 2-B). Siendo la cantidad de movimiento dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{p=m v}
\end{gather}
\]
en módulo, la condición (I) puede ser escrita como
\[
\begin{gather}
mv_0+MV_0=mv+MV\\[5pt]
4,5\times 0+900\times 0=4,5\times 300+900V\\[5pt]
1350+900V=0\\[5pt]
900V=-1350\\[5pt]
V=-{\frac{1350}{900}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{V=-1,5\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
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